Интерполяция функций кубическими сплайнами

Укажем основные этапы решения задачи интерполирования функции сплайнами.

1) Создать массив Sвторых производных кубического сплайна в интерполяционных узлах,i=0..N-1.

Число элементов массива SравноN:,i=0..N-1.

Формирование массива Sвыполните с помощью одной из следующих функций:

S:= lspline(vx,vy)

S:= pspline(vx,vy)

S:= cspline(vx,vy)

При использовании функции lsplineпредполагается выполнение условий вида:

S0 = SN-1 = 0.

Если выбрана функция pspline, то

S0 = S1 и SN-2 = SN-1.

Использование функции cspline(vx,vy)предполагает, что для элементов вектораS=(S0,S1,S2)выполняется условие: точки(vx0,S0), (vx1,S1), (vx2,S2)лежат на одной прямой, а для элементовSN-1, SN-2 и SN-2 точки(vxN-1,SN-1),(vxN-2,SN-2)и(vxN-3,SN-3) лежат на одной прямой.

2) Для вычисления сплайна в произвольной точке используется функция interp. Функция имеет вид:

interp(S,vx,vy,v)

где S- массив, полученный на шаге 1,

vx, vy- массивы, задающие точки,

v- значение координаты x, для которой вычисляется значение интерполяционного сплайна.

 

Оператор вычисления производной

• Приближенное вычисление производной.

Задание оператора вычисления производной осуществляется вводом символа "?" (знак вопроса):

1) Введите символ "?", чтобы увидеть

2) Укажите переменную дифференцирования и выражение.

3) MathCAD вычисляет значение производной заданного выражения для текущего значения переменной дифференцирования.

Например,

При вычислении значения производной применяется формула численного дифференцирования , аппроксимирующая производную по значениям функции в четырех точках, расположенных симметрично относительно точки дифференцирования. Эта формула используется внутри итерационного цикла, на каждом шаге которого расстояния между используемыми точками уменьшается вдвое. Итерации заканчиваются, когда два последних полученных результата различаются на величину, меньную каждого из двух чисел: TOL и

A TOL, где A - последнее из полученных приближений.

Другим условием окончания итераций является превышение их количества заданной в системе величины. В этом случае вместо результата выдается сообщение:

not converging.

Пример решения диф. уравнений.

Оператор вычисления определенного интеграла

• Приближенное вычисление значения определенного интеграла.

Задание оператора интеграла осуществляется вводом символа "&" (амперсанд).

1) Введите символ "&", чтобы увидеть

2) Заполните указанные "знакоместа": пределы интегрирования, подынтегральное выражение и переменную интегрирования.

3) MathCAD вычисляет значение интеграла.

 

Операторы производной и интеграла могут использоваться как элементы выражений.

Вычисление интеграла, та же как и производной производится численно. Используется квадратурная формула трапеций, которая применяется при разбиении промежутка интегрирования сначала на 4 подинтервала, а затем на 8 подинтервалов. Это первый шаг итерационного процесса, на каждом шаге которого происходит удвоение числа подинтервалов и вычисление нового приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Условие успешного окончания итерационного цикла формулируется точно также, как и при вычислении производной. При превышении заданного в системе числа итераций также выдается сообщение:

not converging.

Замечание: Чтобы изменить точность вычислений, надо задать новое определение для встроенной переменной TOL