5.Контрольные вопросы
1. Запишите постановку задачи Коши и сформулируйте теорему существования и единственности.
2. Запишите расчетную формулу метода Эйлера. Дайте геометрическую интерпретацию метода.
3. Что такое локальная и глобальная погрешности.
4. Сформулируйте правило Рунге для оценки погрешности.
5. Выведите оценку локальной погрешности метода Эйлера.
6.Задания для самостоятельной работы
6.1. Решение дифференциальных уравнений второго порядка
В качестве примера решим задачу о гармоническом осцилляторе, для которого известно аналитическое решение, и легко может быть оценена точность вычислений. Дифференциальное уравнение второго порядка
преобразуем к системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка
Пусть декремент затухания
Пусть циклическая частота
Зададим
начальные условия
y0 соответствует начальной координате, а y1 – начальной скорости.
Зададим теперь матрицу D. С учетом того, что искомая величина соответствует нулевому элементу массива y, ее первая производная – первому, а вторая – второму, имеем
Представим результаты расчета на графике и сравним их с аналитическим решением
Для контроля точности вычислений нарисуем фазовую траекторию (зависимость смещения от скорости). Для гармонического осциллятора фазовая траектория должна иметь вид эллипса.
Примечание:Mathcadимеет еще две функции для решения задачи Коши.
Это функции RkadaptиBulstoer. Эти функции имеют те же самые аргументы и возвращают решения в такой же форме, что и функцияrkfixed.
Первая из этих функций использует метод Рунге–Кутты с переменным шагом, что позволяет повысить точность вычислений и сократить их объем, если искомое решение имеет области, где ее значения меняются быстро, и области плавного изменения. Функция Rkadaptбудет варьировать величину шага в зависимости от скорости изменения решения.
Функция Bulstoerреализует иной численный метод – метод Булирша–Штёра. Ее следует применять, если известно, что решение является гладкой функцией.
6.2. Задания.
Задание 1. Найти аналитическое (точное) решение ОДУ из задания 1 с помощью преобразований Лапласа (команды Symbolic Transforms Laplaсе Transform и Inverse Laplace Transform).
Задание 2. Решить задачу Коши для системы ОДУ при заданных начальных условиях на отрезке [0, 2] c шагом h = 0.2. Решать с помощью функции rkfixed. Построить графики функций u(t) и v(t).
Варианты задания 1 и 2
|
№ варианта |
Система ОДУ |
Начальные условия |
№ варианта |
Система ОДУ |
Начальные условия | ||||||
|
|
u(0) |
u’(0) |
v(0) |
v’(0) |
|
u(0) |
u’(0) |
v(0) |
v’(0) | ||
|
1 |
|
1.5 |
1.5 |
1 |
1 |
9 |
|
2 |
0 |
-1 |
1 |
|
2 |
|
-1 |
1 |
-1.5 |
3 |
10 |
|
-1 |
2 |
-1.5 |
0 |
|
3 |
|
1.5 |
1.5 |
1 |
1 |
11 |
|
1.5 |
1.5 |
-1 |
-1 |
|
4 |
|
1 |
1.5 |
0 |
2 |
12 |
|
-1 |
1.5 |
0 |
-2 |
|
5 |
|
0.5 |
1.5 |
-1 |
2 |
13 |
|
-0.5 |
1 |
-1 |
2 |
|
6 |
|
0.5 |
2 |
1 |
2 |
14 |
|
0 |
-2 |
0 |
2 |
|
7 |
|
5 |
5 |
-1 |
1 |
15 |
|
3 |
3 |
-1 |
1 |
|
8 |
|
1.5 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
