2.2 Проверка с использованием критерия согласия Пирсона

Пусть х₁, …, x_n — выборка объемаn, представляющая собой результатnнезависимых наблюдений над случайной величинойX, относительно распределения которой выдвинута простая гипотезаН₀ : F_X(х) = F(х). (F(х) — теоретическая функция распределения, соответствующая гипотезеН₀).

Наиболее распространенным критерием проверки этой гипотезы Н₀ являетсякритерии ² Пирсона.

Чтобы воспользоваться критерием ² Пирсона, выборочные данныех₁, …,x_nследует предварительно сгруппировать, представив их в видеинтервального статистического ряда.

Пусть —интервалы группировки;

₁,…,_N—частоты попадания выборочных значений в интервалыJ₁,...,J_Nсоответственно(₁ + ... + _N = n).

Обозначим р_k теоретическую (соответствующуюН₀) вероятность попадания случайной величиныХ в интервал

.

Статистикой критерия ²является величина

.

Она характеризует отклонение эмпирической функции распределения

F_n*(х)(_k/n—приращениеF_n*(х)на интервалеJ_k)

от теоретической функции распределения F(х)(р_k — приращениеF(х) на том же интервалеJ_k).

Поскольку относительные частоты _k/nсближаются с вероятностямир_kприn, , то в случае справедливостиН₀ значение величины_n²не должно существенно отличаться от нуля.

Поэтому критическая область критерия ²задается в виде

К_={tt_},

где t = _n²(х₁, …,x_n)— значение величины_n², вычисленное для заданной выборки, а порогt_определяется по заданному уровню значимоститак, чтобыР{_n²K_/H₀}=.

Нахождение t_основано на том факте (известном кактеорема Пирсона), что случайная величина_n²имеет приnпредельное распределениехи - квадратс (N—1) степенью свободы²(N—1).

На практике предельное распределение ²(N—1)можно использовать с хорошим приближением приn50и_k5, .

При выполнении этих условий для заданного уровня значимости можно положитьt_=²_1-,N-1, где²_1-,N-1— (1—)-квантиль распределения ²(N—1).

Таким образом, критерий согласия ²Пирсона состоит в следующем:

1. По заданному уровню значимости находится по таблице порог²_1-,N-1.

2. По заданной выборке х₁, …,x_nобъемаn 50определяется числоN интервалов группировки так, чтобы_k5, .

3. Вычисляется значение статистики ²_n (х₁, …,x_n)=t.

4. Если t²_1-,N-1, тогипотезу Н₀ отвергают.

5. Если t<²_1-,N-1, тогипотезу Н₀ не отвергают.

Если случайная величина X дискретная,х_k, — различные выборочные значения, аР{Х=х_k}=р_kв случае справедливостиН₀, то всегда можно определитьNинтервалов, содержащих ровно по одному выборочному значению. Поэтому в данном случае можно сразу считать, что_k=m_k,, гдеm_k—частота выборочного значениях_k.

На практике теоретическое распределение полностью определено редко. Чаще бывает известен предположительно только тип распределения, но неизвестны параметры его определяющие. В этом случае гипотеза о виде распределения, подлежащая проверке, имеет вид Н₀: F_X(х)=F(х;), =(₁,...,_r)и является сложной параметрической гипотезой.

Критерий согласия ² Пирсонаприменим для проверки такой гипотезыН₀ со следующими изменениями:

а) вероятности р_k=Р{XJ_k},вычисляют, заменяя неизвестные параметры их оценками максимального правдоподобия:

б) число степеней свободыпредельного распределенияхи - квадратдолжно быть уменьшено на число неизвестных параметров и считаться равным (N—1—r).