2. Проверка последовательности случайных чисел на равномерность.

2.1 Проверка по гистограмме

На основе конкретной выборки обосновать качество статистических выводов невозможно. Для этих целей на выборку следует смотреть априори как на случайный вектор (Х₁, …, X_n), координаты которого являются независимыми, распределенными так же как иX, случайными величинами, и который еще не принял конкретного значения в результате эксперимента.

Существует несколько способов представления статистических данных. Простейший из них — в виде статистического ряда:

Номер наблюдения i	1 2 … n
Результат наблюдения xi	x1 x2 … xn

Если среди выборочных значений имеются совпадающие , то статистический ряд удобнее записывать в виде следующей таблицы.

Таблица 1

Выборочные значения yi	y1	y2	…	yr
Частоты mi	m1	m2	…	mr
Относительные частоты pi* = mi/n	m1/n	m2/n	…	mr/n

Здесь (у₁, …,y_r) (r<n)— различные значения средих₁, …,x_n; m_i —частота значенияу_i,p_i*=m_i/n- относительная частота значенияy_i. Очевидно, что

.

Совокупность пар называют иногдаэмпирическим законом распределения, а саму табл. 1 —таблицей частот.

Выборочные значения х₁, …,x_n, упорядоченные по возрастанию, носят названиевариационного ряда:

x₍₁₎  x₍₂₎… x_(n),

где x₍₁₎ =min{x₁,…,x_n},x_(n) =max{x₁,…,x_n}.

Величина называетсяразмахом выборки.

Эмпирической функцией распределения, соответствующей выборкех₁, …,x_n, называется функция

,

где I(A)—индикатор множестваA, а— число выборочных значений, не превоcходящихx.

Для каждой выборки х₁, …,x_nфункцияF_n*(х)является неубывающей и непрерывной слева. Ее график имеет ступенчатый вид: если все значениях₁, …,x_nразличны, то

F_n*(х)=k/n

при x[x_(k),x_(k+1)), x₍₀₎=-, x_(n+1)= ;

если y₁, …,y_r —различные значения средих₁, …,x_n, то

Эмпирическая функция распределения F_n*(х)служит статистическим аналогом (оценкой)неизвестной функции распределенияF(x), которую называют при этом теоретической.

Если х₁,…,x_n — выборка объемаnиз генеральной совокупности, имеющей непрерывное распределение с неизвестной плотностью вероятностейf_x(x)=f(x), то для получения статистического аналогаf(х)следует произвести группировку данных. Она состоит в следующем:

1. По данной выборке х₁, …,x_nстроятвариационный ряд x₍₁₎  x₍₂₎…x_(n).

2. Промежуток [x₍₁₎ ,x_(n)]разбивают точкамиu₀ = х₍₁₎, u₁,…,u_N = x_(n) : u₀<u₁<…<u_NнаNнепересекающихся интерваловJ_k = [u_k—1,u_k)(на практикеN<<n).

3. Подсчитывают частоты ν_kпопадания выборочных значений вk-ыйинтервалJ_k

4. Полученную информацию заносят в таблицу, которую называют интервальным статистическим рядом(табл. 2).

Таблица 2

Интервалы Jk	[u0, u1)	[u1,u2)	…	[uN—1, uN]
Частоты νk	Ν1	ν2	…	νN
Относительные частоты	1/n	ν2/n	…	N/n

Очевидно, .Поэтому совокупность пар

называют иногда эмпирическим законом распределения, полученным по сгруппированным данным. Далее в прямоугольной системе координат на каждом интервалеJ_kкак на основании длины∆u_k=u_k—u_k-1строят прямоугольник с высотой. Получаемую при этом ступенчатую фигуру называютгистограммой.

Поскольку при больших  nвыполняется, то верхнюю границу гистограммы можно рассматривать как оценку неизвестной плотностиf(x).

Ломаная с вершинами в точках называетсяполигоном частоти для гладких плотностей является более точной оценкой, чемгистограмма.

На практике при группировке данных обычно берут интервалы одинаковой длины ∆u=соnst , а число интервалов группировки определяют с помощью так называемогоправила Стургерса, согласно которому полагается

N = [1+3,32 ln(n)]+1.