Порядок решения задачи

Алгоритм приближенного решения уравнения f(x)=0 состоит из двух этапов:

1. Нахождение промежутка [a,b], содержащего корень.

Замечание: Для этого промежутка [a,b] должны выполняться достаточные условия сходимости итерационных методов.

Промежуток [a,b] определяется визуально. Для этого строится график функции. По виду графика подбираются границы промежутка [a,b] так, чтобы он содержал только один корень уравнения и кривая графика не имела перегибов.

За форму графика (наличие точек перегиба) отвечает вторая производная. Поэтому для проверки, правильно ли выбран промежуток, осуществляются следующие действия:

Определим выражения для первой и второй производной функции f(x):

, .

Границы промежутка, содержащего корень, в случае необходимости корректируются так, чтобы на этом промежутке производные были знакопостоянны. Для проверки знакопостоянства f’(x) и f’’(x) строятся графики функций df(x) и d2f(x). На рассматриваемом промежутке [a,b] визуально можно определить соблюдение знакопоcтоянства производных.

Например: для функции f(x)=sin²(x)-sin(x)-¼ определим интервал локализации.

2. Получение приближенного решения с заданной точностью.

На втором этапе могут быть использованы: 1) Средства системы MathCAD (функция root), 2) метод бисекций, 3) метод хорд, 4) метод касательных (Ньютона), 5) метод простейших итераций.

1) Получение приближенного решения уравнения с заданной точностью с помощью средств пакета MathCad

Для решения нелинейных уравнений в MathCAD предусмотрена встроенная функция

root(f(t),t),

f(t) – функция, нуль которой необходимо найти,

t – переменная, которую необходимо варьировать.

Вообще говоря, функция f может быть функцией многих переменных и необходимо указывать, по какой именно переменной мы ищем нуль функции. Кроме того, необходимо задать начальное приближение поиска t=t0. Точность вычислений задается встроенной переменной TOL. По умолчанию ее значение равно 0,001. Это значение можно изменить либо через меню Math/Built–In Variables или непосредственно в тексте документа: TOL:=10^-10.

Пример вычисления корня с помощью функции root:

ЗАМЕЧАНИЕ: в MathCAD вывод результатов на экран по умолчанию осуществляется только до третьего знака после запятой. Чтобы осуществить более точный вывод результата, необходимо выполнить следующие операции:

• Правка – Выделить всё;

• Формат – Результат (на экране появится диалоговое окно);

• В появившемся диалоговом окне в поле «Количество десятичных» выставить нужную точность вывода результата.

Например, до десятого знака после запятой:

Если требуется найти несколько корней, то имеет смысл определить новую функцию: _. Функция r(x) возвращает значение корня ближайшее к x¹, т.е. начальное приближение мы задаем через аргумент функции. Задаем вектор начальных приближений x и находим соответствующие им корни X. Например:

MathCAD 2000 представляет ряд дополнительных возможностей для поиска корней уравнений. Функция root(f(var1, var2, ...),var1, [a, b]) имеет теперь два необязательных аргумента a и b, которые определяют границы интервала, на котором следует искать корень. На концах интервала [a,b] функция f должна менять знак (f(a)f(b)<0). Задавать начальное приближение для корня не нужно. Продемонстрируем использование расширенного варианта поиска корней на примере функции

Для оценки местоположения корней построим график этой функции

На интервале [-1,8] функция имеет три корня. MathCAD 2000 смог найти только один из них.