2.Метод хорд

Суть метода заключается в том, что кривая функции f(x) на отрезке локализации [a;b], содержащем искомый корень, заменяется хордой.

Рисунок 1

В методе биссекций следующая точка находилась как деление отрезка пополам. В этом корень находится как точка пересечения хорды с осью OX:

.

Следующую точку дробления - точку d получаем как пересечение хорды [a;c].

Полученная точка пересечения d находится по формуле:

Следующей будет хорда ad, построенная аналогичным образом. И т.д.

Если обозначим точку b как x₀, а c как x_1, то получим:

,

точку d - через x₂ :

.

Легко заметить, что итерационная формула для хорд имеет вид:

,

где, например, const=a, x₀=b, k=1..n.

Аналогично методу биссекций, итерационный процесс в методе хорд завершается, когда разница между последним и предпоследним значениями х будет меньше ε:

. (*)

Т.е. n подбирается вручную(!!!) – сначала выбирается ЛЮБОЕ! не очень большое n, а затем увеличивается до тех пор, пока не будет выполнятся выше указанное неравенство (*).

Т.о: Если условие (*) не выполняется, то n нужно увеличить!

Условием сходимости метода хорд является знакопостоянство второй производной. Вторая производная отвечает за форму функции.

Если вторая производная меняет знак, то функция f(x) имеет перегибы.

В вышеизложенном примере (рисунок 1) вторая производная была меньше нуля. В итерационной формуле присутствовали две точки: a=const, x₀=b. Если f”>0, то b=const, x₀=a, когда функция f(x) меняет знак с “-” на “+”. Математический выбор точек const и x₀ определяют с помощью проверки знаков следующих произведений:

f(a)*f”(a) и f(b)*f”(b).

Если произведение функцию на её вторую производную положительно, то эта точка const, если отрицательна, то она будет x₀.

3.Метод касательных (метод Ньютона)

Этот метод аналогичен методу хорд, но функция заменяется не хордой, а касательной. Итерационная формула имеет вид:

.

В данном случае x₀ выбирается в той точке, где произведение функции и второй производной положительно:

x₀=a, если f(a)*f”(a)>0

x₀=b, если f(b)*f”(b)>0.

Условие окончания итерационного процесса:

.

Метод Ньютона основан на разложении функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x₀:

,

где x₀ x^*,

x^*-корень,

∆- сумма всех остальных членов ряда Тейлора, но эта сумма бесконечно мала по сравнению с другими двумя слагаемыми и поэтому ей можно пренебречь:

∆≈0.

При подстановке корня в функцию, она обращается в ноль, то есть:

f(x₀)+df(x₀)* (x^*-x₀)=0.

Выразим из последнего выражения приближённое значение корня:

f(x₀)+df(x₀)* x^*- f(x₀)* x₀=0

x^*= x₀- f(x₀)/ df(x₀) (1*)

Примечание:

Пусть - искомый корень. Мы раскладывали функцию в ряд Тейлора с предположением, чтоx₀, но погрешность выбораx₀ (не очень приближено к корню ), приводит к тому, что полученное значение x^* в формуле (1*) не равно корню , а лишь приближается к нему, поэтому требуется повторение формулы (1*) в виде:

x^**= x^*-f(x^*)/ df(x^*).

Итерационная формула:

.

Условие окончания итерационного процесса:

.

Теорема о сходимости метода Ньютона.

Пусть x^* - простой корень уравнения f(x)=0, в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируема.

Тогда найдется такая малая σ - окрестность корня x^*, что при произвольном выборе начального приближения x⁽⁰⁾ из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка

|x⁽ⁿ⁺¹⁾ – x^*| ≤ C|x⁽ⁿ⁾ – x^*|²,

где n≥0, C= σ^-1.