17

СНИЯЭиП Методические указания «Решение нелинейных алгебраических уравнений»

Министерство топлива и энергетики украины

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Севастопольский Национальный институт ядерной энергии и промышленности

инструктивно-методические указания

к практическому занятию

на тему: «Решение нелинейных уравнений»

Севастополь

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

«Решение нелинейных алгебраических уравнений»

Постановка задачи:

Дана функция f(x). Необходимо найти решение уравнения

f(x)=0,

т.е. корень x. Корень-значение аргумента x^*, при котором функция обращается в нуль f(x^*)=0.

Корень x* называется простым, если

f ' (x*) ≠ 0,

в противном случае корень называется кратным.

Целое число m называется кратностью корня x*, если

f^{( k )}(x*)=0 для k=1,2,3-,m-1 и f ^{( m )}(x*) ≠ 0 .

Постановка задачи вычисления приближенного значения корня с точностью ε : найти такое значения x, что

│x - x*│< ε .

Решение задачи разбивается на два этапа:

- на первом этапе осуществляют локализацию корней,

- на втором этапе производят итерационное уточнение значения корней.

На этапе локализации корней находят достаточно узкие отрезки ( или отрезок, если корень единственный), которые содержат один и только один корень уравнения f(x)=0.

На втором этапе вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью ε .

Часто вместо отрезка локализации достаточно указать начальное приближение к корню.

1.Метод деления отрезка пополам (метод бисекций, метод дихотомии)

Выделим интервал [a:b], на котором содержится один корень. На этом интервале функция меняет знак, пересекая ось. Поэтому для проверки, содержит ли интервал [a:b] корень, нужно проверить, меняет ли функция на этом интервале свой знак.

Для проверки, поменяла ли функция знак, т.е. содержится ли корень на интервале [a:b], вычислим произведение функции на концах отрезка:

f(a)*f(b).

Если функция поменяла знак, то произведение чисел разных знаков меньше нуля:

f(a)*f(b)<0.

Далее “сужаем” интервал [a:b] до искомого корня. Это делается следующим образом. В данном методе исходный интервал [a:b] делится пополам. Получим:

Т. о. получим два интервала [a:c] и [c:b]. Чтобы определить, на каком из этих интервалов находится корень, нужно проверить, на каком из них функция поменяла знак. Для этого находим произведения f(a)*f(c) и f(c)*f(b) и определяем знак, например:

f(a)*f(c)<0,

f(c)*f(b)>0.

Т ак как на интервале [c:b] функция не меняет знак, то его отбрасываем и рассматриваем далее только интервал [a:c]. Для дальнейшего его “сужения” делим его опять пополам и находим точку d:

.

Проверяем знак произведений f(a)*f(d) и f(d)*f(c) и так далее. Деление отрезка проводим до тех пор, пока на k-том шаге не получим что:

и не будет выполнятся условие:

,

где ε - заданная точность.

Другими словами деление будем продолжать до тех пор, пока значение x_k будет отличаться от x_k-1 на ничтожно малую величину (ε).

Например: при=0,01

,

0,001 < 0,01.

Полученное на последнем шаге x_k (k=n), где n-количество делений, и есть искомый корень с заданной точностью ε.