9

МИНИСТЕРСТВО ТОПЛИВА И ЭНЕРГЕТИКИ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Севастопольский Национальный УНИВЕРСИТЕТ ядерной энергии и промышленности

КАФЕДРА КОМПЬЮТЕРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ

Инструктивно-методические указания

по проведению практического занятия №7

на тему: «Приближение функций. Полиномиальная интерполяция»

по дисциплине «Алгоритмы и вычислительные методы»

по дисциплине «Численные методы и моделирование»

Севастополь

2005

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой компьютезированных систем

______________________________ Н.Е. Сапожников

«___» _____________ 2005 г.

практическое занятие №7

по дисциплине «Алгоритмы и вычислительные методы»

по дисциплине «Численные методы и моделирование»

Время: 2 часа

Место проведения: компьютерный класс

Тема: «Приближение функций. Полиномиальная интерполяция»

Цель: 1. Закрепить знания, полученные на лекционном занятии.

2. Привить навыки построения простейшей имитационной модели.

3. Привить навыки реализации методов в среде MathCAD.

план ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

1.Вводная часть 05 мин.

2.Основная часть: 70 мин.

а) ознакомление с интерфейсом системы 05 мин.

б) основные блоки документа 10 мин.

в) выполнение контрольных упражнений 55 мин.

3.Выдача заданий на самостоятельную работу, тпроверка результатов выполнения упражнений. 05мин

В результате проведения практического занятия студенты должны

знать: 1 понятие об обобщенной математической схеме моделируемой системы;

Уметь: 1 выполнять построение концептуальной модели и математической схемы исходной системы .

Литература:

1. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы М.: Наука, 1978.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, т. 1,2. М.: Наука, 1976.

6. Ю. Ю. Тарасевич Численные методы на Mathcad’е. – Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань, 2000.

7. WWW - версия учебно - методического комплекса по численным методам разработана на кафедре Информатики и Математического Обеспечения Петрозаводского государственного университета (http://www.karelia.ru/psu/Chairs/IMO/Complex).

8. В.Н.Пучков Вычисления в среде MathCad : Севастополь : Издательство сияЭиП,2001.

организационно-методические указания по проведению практического занятия

Занятие проводится в составе класса в помещении компьютерного класса. Подготовка к занятию заключается в изучении материала данного в качестве задания на самостоятельную работу и материала лекции по данной тематике. В процессе проведения занятия обучаемым задаются контрольные вопросы с целью определения степени усвоения учебного материала.

Содержательная часть и возможные варианты исполнения

Варианты проведения практического занятия.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [a,b] заданы n+1 точки x₀, x₁, …, x_n, которые называются узлами интерполяции, и значение некоторой функции f(x) в этих точках

f(x₀) = y₀, f(x₁) = y₁, …, f(x_n) = y_n . (1)

Требуется построить функцию F(x) /итерполирующая функция/, принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что

F(x₀) = y₀, F(x₁) = y₁, …, F(x_n) = y_n . (2)

Геометрически (рис.1) это означает, что нужно найти кривую y=F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…).

Рисунок 1

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать полином P_n(x) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (2), т.е. такой, что

P_n(x₀) = y₀, P_n(x₁) = y₁, …, P_n(x_n) = y_n .

Примечание: Алгебраическая запись полинома P(x) степени n имеет вид

P(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₂ x² + a₁ x + a₀

Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).

2. Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т.е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления: значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.)

Т.о. Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точках отрезка восстановить её значения в остальных точках этого отрезка. Разумеется, такая задача допускает сколь угодно много решений. Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерения y_i=f(x_i) некоторой физической величины f(x) в точках x_i (i=0,1,2,…,n) и требуется определить ее значения в других точках. Интерполирование используется также при сгущении таблиц, когда вычисление значений f(x) трудоемко. Иногда возникает необходимость приближенной замены данной функции другими функциями, которые легче вычислить. Результаты и методы теории интерполирования и приближений функций нашли широкое применение в численном анализе, например при выводе формул численного дифференцирования и интегрирования, при построении сеточных аналогов задач математической физики.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

Пусть на отрезке [a,b] даны n+1 различных значений аргумента: x₀, x₁, …, x_n, и известны для функции y=f(x) соответствующие значения

f(x₀) = y₀, f(x₁) = y₁, …, f(x_n) = y_n .

Требуется построить полином L_n(x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах x₀, x₁, …, x_n те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

L_n(x_i) = y_i, (i = 0, 1, 2, …, n).

Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа:

,

где

Многочлен l_njx представляет собой многочлен степени n, удовлетворяющий условию

.

Таким образом, степень многочлена L_n равна n и при x=x_i в сумме обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером j=i, равного y_i. Поэтому многочлен Лагранжа является интерполяционным.

Пример 1. Построение многочлена Лагранжа. По таблице построим интерполяционный многочлен:

x	-1	0	1	2
y	4	2	0	1

Обратим внимание, что при подстановке x=x₁=(-1) первая дробь обращается в единицу, а остальные в нуль. Т.о. на выходе получаем

L₃(x₁) = L₃(-1) = 4*1 + 0 + 0 + 0 = 4 = y₁

Пример 2. Реализация в MathCAD. Для заданной функции построим интерполяционный многочлен Лагранжа.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА

Другая форма записи интерполяционного многочлена - интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями.

Пусть функция f задана с произвольным шагом и точки таблицы занумерованы в произвольном порядке. Величины

называют разделенными разностями первого порядка.

Разделенные разности второго порядка определяются формулой:

.

Определение разделенной разности порядка k2 таково:

.

Используя разделенные разности, интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в следующем виде:

P_n(x) = f(x₀) + f(x₀;x₁)(x-x₀) + f(x₀;x₁;x₂)(x-x₀)(x-x₁) +…+

+ f(x₀;x₁;…;x_n)(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1)

Величину R_n(x)=|f(x)-P_n(x)| называют погрешностью интерполяции или остаточным членом интерполяции.

Пример 3. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с разделенными разностями.

По таблице значений функции из Примера 1 построим интерполяционный многочлен Ньютона.

Составим таблицу разделенных разностей:

-1	4	-2	0	1/2
0	2
		-2
1	0		3/2
		1
2	1

Теперь запишем интерполяционный многочлен Ньютона:

Отметим, что в силу единственности интерполяционного многочлена, мы получили тот же самый многочлен, что в Примере 1.

Пример 4. Реализация в MathCAD. Для заданной функции построим интерполяционный многочлен Ньютона.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Если функция непрерывно дифференцируема n+1 раз на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполяции x_i, i=0,1,...n, то для погрешности интерполяции справедлива оценка погрешности:

.

Здесь , .

Эта оценка показывает, что для достаточно гладкой функции при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции стремится к нулю не медленнее, чем величина, пропорциональная . Этот факт формулируют так: интерполяционный многочлен степени n аппроксимирует функцию с (n+1) порядком точности относительно h_max.

Пример 5. Использование остаточного члена интерполяции.

Пусть требуется составить таблицу функции y=ln(x) на отрезке [1,10]. Какой величины должен быть шаг h, чтобы при линейной интерполяции значение функции восстанавливалось с погрешностью не меньшей =10^-2?

Запишем остаточный член интерполяции при линейной интерполяции

.

Так как , то . Тогда . Следовательно, .

В практическом плане формула Ньютона обладает преимуществами перед формулой Лагранжа.

Предположим, что в необходимо увеличить степень многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел x_n+1. При использовании формулы Лагранжа это приводит к необходимости вычислять каждое слагаемое заново. Для вычисления P_n+1(x) достаточно добавить к P_n(x) лишь очередное слагаемое:

.

Если функция f достаточно гладкая, то справедливо приближенное равенство

.

Это равенство можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции :

_.