2. Биения.
Вторая программа изображает кривую
y(t) = a1 cos ω1t + a2 cos ω2t.
Несмотря на простоту формулировки, эта задача очень содержательна.
Задание 1. Создать и исполнить программу.
В процессе исполнения программы Beats на экран выводится участок кривой y(t) для интервалов времени t от t0 до tm.
Исходный текст программы:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Учебная программа расчета биений %
% Это вариант с выводом полной кривой биений %
% и перемещением по ней с помощью команды AXIS %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear;
a1=1.0; % Амплитуды гармонических
a2=1.0; % колебаний
w1=1.0; % Частоты гармонических
w2=1.2; % колебаний
t0=0; % Начальный момент времени
tm=20; % Конечный момент времени
N=600; %Число точек вывода/расчета
T=tm-t0; % Время вывода биений
dt=T/N; % Шаг по времени
t=t0:dt:tm; % Вектор времени
y=a1*cos(w1*t)+a2*cos(w2*t); % Функция биений
plot(t,y); % Вывод графика
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
После вывода результата расчета на экран можно изменить масштаб осей с повторным выводом соответствующего участка кривой.
Так, в приведенном выше примере переменная t на графике будет изменяться от 0 до 20.
Если мы хотим рассмотреть подробности графика в другом диапазоне (например, по t от 1 до 2), то необходимо команду
axis([xmin xmax ymin ymax]),
где xmin xmax -диапазон вывода по оси x, а ymin ymax -диапазон вывода по оси y.
В результате выполнения этого оператора график будет перестроен в указанном масштабе.
Следует иметь в виду, что построение нового графика идет на основе все тех же насчитанных массивов t и y, поэтому если в выбранный диапазон попадет мало точек, то и качество графика будет невысокое.
Задание 2. Будет ли синусоидой «огибающая максимумов» при неравных друг другу амплитудах складываемых колебаний?
Задание 3. Другого вида биения можно наблюдать при
y(t) = a1 cos ω1t - a2 cos ω2t.
Для того чтобы увидеть, как действительно выглядят колебания в этом случае, желательно увеличить время вывода биений (т.е. диапазон изменения переменной t) примерно в 10-20 раз.
Задание 4 . Выполнить вычисление и построение графиков биений в среде Simulink в соответствии с Заданием 1 и Заданием 3.
3.Задание на самостоятельную работу.
Волны.
Речь может идти о самых разных волнах – волнах на поверхности воды, звуке, радиоволнах и т.п. Если амплитуды волн не слишком велики, то для них справедлив принцип суперпозиции, что мы и будем предполагать.
Функция
y(x, t) = a cos(kx − ωt)
задает бегущую волну с амплитудой a , волновым числом k и угловой частотой ω .
Длина волны λ = 2π/k , а ее период T = 2π/ω.
Скорость волны (скорость максимума, определяемого условием kx−ωt= 0) равна
v = x/t = ω/k.
Суперпозиция двух волн
y(x, t) = a1 cos(k1x − ω1t) + a2 cos(k2x − ω2t) (1)
в любой момент представляет картину биений в зависимости от x.
При a2 = a1
y(x, t) = a(x, t) cos(kx − ωt),
где
a(x, t) = 2a1 cos(dk x − dω t), k =(k1 + k2) /2, ω =(ω1 + ω2) /2,
dk =(k1 − k2) /2 , dω =(ω1 − ω2) /2.
Функция |a(x, t)| определяет модуляцию суммарной волны; она перемещается со скоростью u = dω/dk, называемой групповой скоростью.
Программа Wavepak изображает сумму волн, причем изображение на экране сменяется с определенным шагом по времени т.е. осуществляется анимация изображения.
Прежде чем подробно анализировать приведенную далее программу вывода бегущей волны, сделаем несколько общих замечаний относительно графики в системе MATLAB.