6.4. Случайные величины:

Определение:

Случайной величинойназывается величина, которая в результате ОКУ заведомо принимает одно и только одно из своих возможных числовых значений, причем заранее неизвестно какое именно.

Определение:

Случайная величина, возможные значения которой изолированы друг от друга называется дискретной (ДСВ).

Определение:

Случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал, конечный или бесконечный, называется непрерывной(НСВ).

Определение:

Всякое соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределенияслучайной величины.

Простейшей формой закона распределения ДСВ является ряд распределения, т.е. таблица, в которой перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, т.е.

Где

Определение:

Ломаная, соединяющая точки с координатами ,называетсямногоугольником или полигономраспределения ДСВ.

Определение:

Возможное значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность, называется модойэтой случайной величины.

Определение:

Функцией распределенияслучайной величиныназывается вероятность того, что эта случайная величина примет значение меньшее, чем, т.е..

Основные свойства :

- значения функции распределения принадлежат отрезку ;

- функция распределения неубывающая;

- если , тои;

- если возможные значения НСВ принадлежат , то при, а при

.

-вероятность попадания НСВ в интервал любого типа.

Определение:

Предел средней плотности распределения вероятности НСВ в , при условии, что длина этого интервала, называется плотностью распределения вероятности данной случайной величины в точке.

Обозначение: .

для.

Теорема:

Вероятность попадания НСВ в интервалравна определенному интервалу на соответствующем отрезкеот плотности распределения, т.е..

Связь между функцией распределения и плотностью распределенияНСВ:

дляи.

Свойства плотности распределения:

- при;

- ;

6.4. Числовые характеристики случайных величин:

1) Математическое ожидание

Для дискретной случайной величины

Определение:

Сумма произведений всех возможных значений ДСВ на соответствующие им вероятности называется математическим ожиданиемэтой случайной величины.

Т.о. .

Математическое ожидание – константа, имеющая размерность случайной величины.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому всех возможных значений данной случайной величины.

Свойства математического ожидания:

- ;

- ;

- для независимых ДСВ;

- для независимых ДСВ;

- .

Для непрерывной случайной величины

.

Вероятностный смысл и свойства ДСВ остаются справедливыми.

2) Дисперия

Определение:

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания называется дисперсией.

Т.о или.

Дисперсия – константа, имеющая размерность квадрата случай величины.

Дисперсия характеризует степень разброса возможных значений случайной величины относительно ее центра, т.е. МО.

- для ДСВ.

- для НСВ.

Теорема: .

Свойства дисперсии:

- ;

- ;

- для независимых ДСВ;

- для независимых ДСВ.