6.2. Основные понятия теории вероянтостей:

Изначальные понятия: событие и вероятность.

Под событиемпонимают всякий факт, относительно которого уместно говорить: произойдет оно или нет.

События делят на: случайные, достоверные и невозможные.

Определение:

Случайнымсобытием называют всякое явление, которое в результате ОКУ может произойти или не произойти.

Обозначение:

Определение:

Событие называется достоверным, если оно заведомо происходит при ОКУ.

Обозначение: .

Определение:

Событие называется невозможным, если оно заведомо не происходит при ОКУ.

Обозначение:

Определение:

Несколько событий называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем любое другое.

Определение:

Несколько событий называются несовместными, если появление одного из них исключает появление любого другого и совместными, если не исключает.

Определение:

Несколько событий образуют полную группу, если в результате ОКУ обязательно происходит хотя бы одно из данных событий.

Определение (классическое определение вероятностей):

Если в результате ОКУ всевозможные исходы составляют полную группу и равновозможных и несовместных случаев, из которыхблагоприятствуют появлению события, то вероятность этого события равна отношению числа благоприятствующих событий к их общему числу.

Т.о. .

Определение:

Два события называютсяпротивоположными, если в результате ОКУ обязательно происходит одно и только одно из них.

Теорема:.

6.3. Теоремы сложения и умножения:

Определение:

Произведениемдвух событий называется событие, состоящее в их одновременном появлении.

Обозначение: .

Определение:

Два события называютсянезависимыми, если вероятность любого из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие и зависимыми, если зависит.

Определение:

Вероятность события , вычисленная при условии, что событиепроизошло, называетсяусловной вероятностьюсобытия.

Обозначение: или.

Определение:

Вероятность события , вычисленная без учета появления, или не появленияназываетсябезусловной вероятностьюсобытия.

Обозначение: .

Теорема умножения:

Замечание: теорема остается справедливой и для большего количества событий.

Определение:

Суммойдвух событийиназывается событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из этих событий.

Обозначение: .

Теорема сложения:

.

Замечание: теорема остается справедливой и для большего количества событий.

Следствия:

- Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице, т.е. ;

- - формула расчета вероятности появления хотя бы одного изсовместных событий.

Теорема (формула полной вероятности):

Если случайные гипотезы образуют полную группу несовместных событий и событиеможет произойти только после наступления одной из гипотез, то вероятность появления событиярассчитывается по формуле

.

Теорема (гипотез или формула Бейеса):

Пусть случайные гипотезы образуют полную группу несовместных событий, известны вероятности появления этих гипотез, событиеуже произошлою, то.

Повторение испытаний:

- Если , то;

- В независимых испытаниях событиепоявится хотя бы один раз с вероятностью.

Теорема (формула Бернулли):

Если проводится независимых испытаний, в результате каждого из которых событиеможет появится с вероятностьюи не появится с вероятностью,то вероятность того, что виспытаниях событиепоявится ровнораз рассчитывается по формуле

Эта формула целесообразна при небольших .

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа):

Если вероятность появления событияв результате каждого изнезависимых испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большихвероятность того, что виспытаниях событиепоявится ровнораз имеет представление

, где.

Функция - непрерывная и положительная при любых, четная и.

.

При полагают.

Закон Пуассона:

Если достаточно велико,- достаточно мало, то с наименьшей погрешностью

, где.

Интегральная теорема Лапласа:

Если вероятность появления событияв результате каждого изнезависимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достатолчно большихвероятность того, что событиенаступит отдораз имеет слудующее представление, где;.

- функция Лапласа.

- непрерывна при любых, нечетная.

При полагают.

.