Раздел IV: теория функций комплексного переменного.

4.1. Основные понятия:

Определение: соответствие, при котором каждому значениюотвечает одно или несколько значенийназывается функцией комплексной переменной.

Обозначение: .

Функция комплексного переменного может быть одноизначной и многозначной.

Т.к. , томожно представить как.

Здесь , а.

Определение(для однозначных или отдельных вертвей многозначных):

Комплексное число называется пределом функциипри, если длятакое, что при всехотличных оти удовлетворяющих неравенствусправедливо неравенство.

Обозначение: .

Если представлена в виде, то она непрерывна в точкетогда и только тогда, когда в точкеодновременно непрерывны ее действительная частьи мнимая.

Определение:

Функция непрерывная в каждой точке некоторого множества называется непрерывной на этом множестве.

Определение (для однозначных или отдельных вертвей многозначных):;

Дифференциалфкп находят по формуле:.

Если дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, обратное не справедливо.

Функция называетсядифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Теорема(необходимое и достаточное условия дифференцируемости фкп):

Для того чтобы однозначная функция была дифференцируемой в точекенеобходимо и достататочно, чтобы в т.:

- ибыли дифференцируемы;

- выполнялись равенства (условия Даламбера - Эйлера или Римана - Коши).

Определение:

Функция называется аналитической в точке, если она однозначна и дифференцируема в этой точке и ее окрестности.

Определение:

Функция называется аналитической в области, если она аналитическая в каждой точке этой области.

Примечание: функции, содержащиене являются аналитическими.

4.2. Основные элементарные функции:

1. Степенная функция

а) если - натуральное, тои;

б) если , где,то,

в) если, гдеи- несократимая, то

,.

2. Показательная функция

и, (и)

Специфическое свойство: , при

3. Логарифмическая функция

Формула вычисления - , где

Если , то имеем главную ветвь -, т.е., где

4. Тригонометрические функции

;;;.

Специфическое свойство: имогут быть большими единицы.

5. Гиперболические функции

;;;

Формулы связи:и.

Функции и- периодические с периодом, аи-.

Характерно, что и.

6. Обобщенные степенная и показательные функции(не относятся к числу основных элементарных, но являются элементарными)

- обобщенная степенная функция , гделюбое комплексное число, функция определяется равенством;

- обобщенная показательная функция , где а – любое комплексное число, функция определяется равенством

4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:

Пусть в плоскости Гаусса задана гладкая направленная кривая с начальной точкойи конечнойи пусть в каждой точке этой кривой определена однозначная непрерывная функция.

Определение: Конечный предел интегральной суммы функциина кривойпри условии, чтоиназывается контурным интегралом от этой функции по кривой, где

Т.о. .

Основные свойства:

- ;

- ;

- , где- постоянная;

- ;

- .