1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:

1. Дифференциальные уравнения вида , где

Для нахождения решения последовательно интегрируем заданное д.у. по столько раз, каков порядок уравнения.

2. Дифференциальные уравнения вида .

Для нахождения решения вводим новую функцию , тогда.

Замечание:

- д.у. вида , гдерешаем с помощью подставки.

3. Дифференциальные уравнения вида .

Для нахождения решения вводим новую функцию , тогда.

4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

Общий вид: .

Ход решения:

- составляем характеристическое уравнение вида ;

- решаем характеристическое равнение, используя дискриминант;

- записываем общее решение, учитывая:

ЛОДУ высших порядков решаются аналогично.

5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)

Общий вид , где- непрерывная функция при всех рассматриваемых.

- ЛНДУ второго порядка с первой специальной правой частью (- любое действительное число, включая ноль,- многочлен-ой степени с действительными коэффициентами)

Его решение имеет вид: , где

- - общее решение соответствующего ЛОДУ,

-, где- кратность, с которойвходит в число корней характеристического уравнения,- из условия,- многочлен- ой степени, взятый с буквенными коэффициентами.

- ЛНДУ второго порядка со второй специальной правой частью (- любое действительное число, включая ноль,- многочлен-ой и- ой степени с действительными коэффициентами)

Его решение имеет вид: , где

- - общее решение соответствующего ЛОДУ,

-, где- кратность, с которой пара чиселвходит в число корней характеристического уравнения,- из условия,- разные многочлены одной степени с буквенными коэффициентами ().

ЛНДУ высших порядков решают аналогично.

Теорема:

Если - частное решение д.у.,- частное решение д.у., то их сумма- частное решение д.у..

6. Метод Лагранжа (для интегрирования ЛНДУ второго и высших порядков)

Этот метод целесообразно применять при интегрировании ЛНДУ с постоянными коэффициентами, но без специальной правой части и уравнений с переменными коэффициетами.

Пусть имеем - ЛНДУ второго порядка. Найдем его решение в видеметодом вариации.

- - решение соответствующего ЛОДУ;

- ;

- составляем СЛАУ относительно :

- находим по формулам Крамера решение системы: ;

- итнегрируем последнее равенство и полагаем постоянные интегрирования равными нулю, тем самым находим ;

- записываем решение в виде .

1.4.Системы диффереренциальных уравнений.

Определение:

Система диффереренциальных уравнений вида

где - неизвестные функции независимой переменной, называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

1) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению - го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного.

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения, что позволяет найти решение системы.

2) Пусть дана система 3 линейных дифференциальных уравнений с 3 неизвестными функциями, коэффициенты которых постоянные:

Общее решение имеет вид: .

Здесь - нетривиальные частные решения системы, причем такие, что каждая тройка функций образуют ФСР.

Ищем такие частные решения системы в виде , здесь- некоторые константы. Подставив значенияв систему дифференциальных уравнений, получим систему линейный алгебраических уравнений относительно:

Составляем характеристическое уравнение:.

Оно имеет три корня: действительных или комплексно-сопряженных.

- Если корни дейстительные и различные , то для каждого корнянаходим из системыодно из ее решенийвида:

Линейная комбинация полученных частных решений определит общее решение заданной системы.

- Если среди корней есть пара комплексно-сопряженных чисел, т.е. - действительное,, то аналогичным способом с помощью корнянаходим первое частное решение системы в действительной форме. С помощью корняилиполучаем новое частное решение в комплексной форме. Выделив в новом решении действительные и мнимые части, составляем из них соответственно частные решения в действительной форме.