15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:

1. - в случае явного задания кривой интегрирования;

2. - в случае параметрического задания кривой интегрирования;

3. - формула Грина, где- область, ограниченная контуром.

4. Если , то;

5. Если и- незамкнутая кривая, т.е. вычисление таких интегралов сводится к вычислению определенных, однако, в качестве линии интегрирования удобно брать ломаную, звенья которой параллельны осям координат.

15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:

1. - нахождение функции по ее полному дифференциалу, где- точка из области непрерывности;

2. - работа силы, где, по перемещению материальной точки;

3. - площадь плоской фигуры.

Теорема (условие независимости составного интеграла по координатам от формы кривой интегрирования):

Если функции и их частные производные первого порядка непрерывны в некоторой области, то для того чтобы составной интеграл по координатам не зависел от формы кривой интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке областиподынтегральное выражениебыло полным дифференциалом некоторой функции двух переменных.

Раздел XVI: поверхностные интегралы.

16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:

Пусть функция - непрерывна в каждой точке гладкой поверхности.

Определение:

Конечный предел интегральной суммы функции в областипри условии, чтоиназывается поверхностным интегралом по площади поверхности от функциипо поверхности, где- диаметр частичной поверхности.

Т.о. , где- площадь частичной поверхности.

Определение:

Сторона поверхности называется положительной (отрицательной) в направлении оси , если нормаль, проведенная к этой стороне в произвольной точке составляет с осьюострый (тупой) угол.

Аналогично, для .

Определение:

Выбор одной из двух сторон поверхностей (положительной или отрицательной) в направлении определенной оси называется ориентацией поверхности в направлении выбранной оси.

Основные свойства:

1. Поверхностные интегралы не завися от ориентации поверхности в направлении любой оси.

2. ;

3. Если всюду на , то и;

4. Если всюду на , то и;

5. ;

6. , где- площадь,- из поверхности.

16.2. Вычисление поверхностных интегралов по площади поверхности:

1. Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;

2. Тогда уравнение разрешаем относительно этой переменной, проецируемна соответствующую двумерную плоскость.

Т.е., если такая прямая параллельна оси :

- уравнение :;

- проецируем наи.

3. Переходим к двойному интегралу:

.

16.3. Применения поверхностных интегралов по площади поверхности:

• - площадь поверхности;

• - масса гладкой неоднородной поверхностис плотностью;

• ;;- статические моменты относительно координатных плоскостей;

• ;;; - координаты центра масс поверхности;

• - моменты инерции поверхности относительно координатных осей.