13.3. Дифференцирование сложных функций:

1. Общий случай:

Пусть , тогда

и.

2. Полная производная:

Пусть , тогда

.

13.4. Дифференцирование неявных функций:

1. Неявная функция одной переменной: , тогда

или;

2. Неявная функция двух переменных: , тогда

и, если функциязависит от переменных,.

Имеем аналогичные формулы, если или.

13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:

1) Если поверхность задана явно уравнением , то

- уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке

- уравнение нормали к этой поверхности в точке.

2) Если поверхность задана неявно уравнением , то

- уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке.

- уравнение нормали к этой поверхности в точке.

13.6. Экстремумы функции двух переменных:

Определение:

1)Точка, в которой хотя б одна из частных производных первого порядка функции не существует или обе обращаются в нуль, называется критической точкой этой функции.

2) Точка, в которой обе частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой.

Теорема (достаточный признак существования экстремума функции):

Если в стационарной точке функцияимеет всевозможные непрерывные частные производные второго порядка и если в этой точке:

- , то- точка экстремума и;

- , то в точке- экстремума нет;

- , неопределенный случай.

;;

Правило нахождения экстремума функции :

1. Определяем ;

2. Находим стационарные точки, лежащие строго внутри ;

3. Для каждой такой стационарной точки составляем выражение и с его помощью устанавливаем наличие в стационарной точке экстремума, а по знакуопределяем его характер;

4. Вычисляем значение заданной функции в точке экстремума, тем самым получаем .

Раздел XIV: кратные интегралы.

14.1. Определение и свойства двойного интеграла:

Пусть непрерывна в замкнутой области.

Определение:Конечный предел интегральной суммы функциив областипри условии, чтоиназывается двойным интегралом от этой функции по области, где- диаметр частичной области.

Т.о. .

Основные свойства двойного интеграла:

1) , где-;

2) ;

3) ;

4) Если всюду в области, то;

5) Если всюду в области , то;

6) Если - наименьшее,- наибольшее значения функциии области, то, где- площадь области;

7) ;

8) Теорема о среднем:

Если функция - непрерывна в замкнутой области, то, где- площадь областии- некоторая внутренняя точка области.

Двойной интеграл от неотрицательной функции определяет объем соответствующего цилиндрического тела.

14.2. Вычисление двойного интеграла:

1.

Правило вычисления двойного интеграла по :

- строим область интегрирования и проверяем, является ли она правильной и стандартной по;

- разрешаем уравнение границ области относительно ;

- переходим от двойного интеграла к повторному;

- берем внутренний интеграл по при произвольном постоянном;

- вычисляем внешний интеграл.

2. .

14.3. Применения двойного интеграла:

• или - вычисление площади фигур;

• - вычисление объема;

• - масса плоской неоднородной пластины плотности(механический смысл двойного интеграла);

• 4) ;- статические моменты относительно осей

• ;- координаты центра масс пластины;

• - моменты инерции пластины.