Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

13.1. Основные понятия:

Определение:

Соответствие , при котором каждой паре числовых значений двух независимых друг от друга переменных величинивзятых из области их изменения отвечает одно и только одно числовое значение переменной величины, называют числовой функцией двух переменных.

Обозначение:.

Здесь - аргументы (независимые переменные),- зависимая переменная (функция).

- область определения,- область значений.

Определение:

Совокупность всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению , называют графиком соответствующей функции.Обычно график функциипредставляет собой поверхность, с которой любая прямая параллельная ось,пересекается не более чем в одной точке.

Способы задания:табличный, графически, аналитически.

Определение:

Число А называется пределом функции при стремлении точкик точке, если для любогосуществует: для всех точеккоординаты которых удовлетворяют соотношениямисправедливо неравенство.

Обозначение:или.

Этот предел существует тогда и только тогда, когда по каждому из направлений предел имеет одно и тоже значение.

Определение:

Функция называется непрерывной в точке, если:

- она определена в точке и ее окрестности;

- в точке предел функции равен значению функции в этой точке.

Определение:

Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

13.2. Частные производные:

Определение:

Частной производной функции поназывается предел отношения частного приращения этой функции пок приращению аргументапри условии, чтопроизвольным образом.

Т.о. . Аналогично,.

Чтобы найти частную производные по функциинеобходимо в выражениипеременнуюсчитать постоянной и дифференцировать при этом условиипокак функцию одной переменной. Аналогично, для нахождения частной производной по переменной.

Геометрический смысл:

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой области, тогда частной производной функциипо(по) вычисленная в точкеесть тангенс угла между осьюи касательной, проведенной в соответствующей точке поверхности к линии ее пересечения плоскостью.

Определение:

Частной производной - го порядка функцииназывается частная производная первого порядка по одной из переменныхилиот частной производнойпорядка.

Теорема(о равенстве смешанных производных):

Если функция имеет всевозможные непрерывные частные производные до- го порядка включительно, то значения любой смешанной производной- порядка не зависит от того порядка, в котором для ее получения проводились последовательные дифференцирования пои по, но зависит от общего числа дифференцирований по каждому из аргументов.

- формула нахождения частного дифференциала по.

- формула нахождения частного дифференциала по.

- формула нахождения полного дифференциала.

, где

Теорема(признак полного дифференциала):

Если функции ,и их частные производные первого порядка по обоим переменныминепрерывны в некоторой области, то для того чтобы в этой области выражениебыло полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось равенство:.