Вказівки до лаб_2010

Вибірковий метод у математичній статистиці полягає в тому, що результати, отримані для вибірки, переносяться на всю генеральну сукупність із достатньо високим ступенем точності.

Об’єм (обсяг) вибірки — це кількість елементів вибірки. Різні елементи вибірки називаються варіантами.

Ранжований ряд — послідовність елементів вибірки, записаних у порядку зростання. Зауважимо, що деякі елементи в ранжованому ряді можуть повторюватися по декілька разів.

Якщо елементи, які повторюються у ранжованому ряді, записати лише один раз, то отримаємо варіаційний ряд. Наприклад, для вибірки

9, 3, 2, 3, 5, 4, 7, 4, 5, 5

ранжованим рядом буде

2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 9,

а варіаційним рядом:

де xi — варіанти, ni — відповідні їм частоти. Сума всіх частот ni у цій таблиці

k

дорівнює об’єму вибірки: n = åni .

i=1

Таблиця відносних частот (дискретний статистичний ряд) — це таб-

21

Полігон частот — це ламана, відрізки якої послідовно з’єднують точки з координатами (x1; n1 ) , (x2; n2 ) , , (xk ; nk ) .

Полігон відносних частот — це ламана, відрізки якої послідовно з’єднують точки з координатами (x1;ω1 ), (x2;ω2 ), , (xk ;ωk ).

Розмах вибірки — різниця між найбільшим і найменшим її елементами:

R = xmax − xmin .

Мода вибірки Mo — це такий елемент вибірки, якому відповідає найбільша частота. Модальних значень може бути декілька. Якщо мода єдина, то вибірка називається одномодальною, в іншому випадку — багатомодальною.

Медіана вибірки Me — це такий елемент вибірки, який ділить ранжований ряд навпіл, якщо кількість елементів вибірки непарна, і дорівнює середньому арифметичному двох „середніх” елементів ранжованого ряду, якщо кількість елементів вибірки — парна. Наприклад, для вибірки 4, 5, 6, 7, 8, 7, 7, 5, 4 отримаємо Me = 6, Mo = 7 ; для вибірки 9, 3, 3, 3, 5, 4, 7, 4, 5, 5 матимемо

Типовий приклад

У таблиці наведено кількість телевізорів, які були продані на протязі тижня у 30 навмання вибраних магазинах великого міста:

Для заданої вибірки побудувати ранжований та варіаційний ряди. Записати таблиці частот та відносних частот. Побудувати полігони частот і відносних частот. Знайти об’єм вибірки, мінімальний та максимальний елементи, розмах, моду і медіану. Вказати, чи вибірка одномодальна. Дати інтерпретацію отриманих результатів.

22

Хід роботи

Крок 1. У переважній більшості програм для обробки статистичної інформації (Excel, STATISTICA, E-Views) передбачено, що дані для аналізу введені в стовпчик.

Крок 2. Надалі всі трансформації вибірки зображатимемо в окремих стовпцях. Так, для побудови ранжованого ряду потрібно початковий стовбець елементів вибірки скопіювати в інший, виділити елементи нового стовпця і скори-

статись процедурою сортування за допомогою меню Data → Sort (рис. 17).

Рис. 17. Побудова ранжованого ряду для вибірки.

Крок 3. Побудувати таблицю частот. Для цього необхідно:

1.Скористатись меню Data → PivotTable and PivotChart Report і натисну-

ти кнопку Next (рис. 18).

23

б) натиснути кнопку Layout;

Рис. 20. Задання результуючої клітинки для зведеної таблиці.

в) „перетягнути” кнопку із заголовком „Вибірка” спершу у поле ROW, потім — у поле DATA (рис. 21);

Рис. 21. Задання стовпців зведеної таблиці.

г) двічі клацнути по кнопці Sum of Вибірка і в списку Summarize by вибрати Count (рис. 22), натиснути OK, ще раз OK і Finish.

Рис. 22. Задання стовчика „Частоти” у зведеній таблиці.

25

В отриманій таким чином зведеній таблиці у лівому стовпці відображенні елементи вибірки в порядку їх зростання, у правому — відповідні частоти, у клітинці Grand Total — об’єм вибірки. Скопіювати числові дані з отриманої таблиці для подальшої роботи окремо і дати їм заголовки (рис. 23).

Рис. 23. Таблиця частот.

Крок 4. Побудувати варіційний ряд шляхом копіювання лівого стовпця отриманої таблиці частот.

Крок 5. Побудувати таблицю відносних частот, користуючись формулою і не забуваючи зафіксувати адресу клітинки, в якій отримано об’єм вибірки

(рис. 24).

26

е) натиснути кнопку Next, потім Finish; отримаємо полігон частот

Крок 7. Аналогічно побудувати полігон відносних частот.

Крок 8. Для знаходження найпростіших характеристик вибірки застосувати наступні функції Excel:

COUNT — об’єм (обсяг) вибірки; MIN — найменший елемент вибірки; MAX — найбільший елемент вибірки; MODE — мода вибірки;

MEDIAN — медіана вибірки.

Зауваження 1. Якщо вибірка має декілька модальних значень, то функція MODE дозволяє знайти лише одне з них. Інші модальні значення знаходять безпосередньо з таблиці частот або полігонів.

Зауваження 2. Аргументом кожної із зазначених вище функцій є масив всіх елементів вибірки (незалежно від того, записані вони в один стовбець чи ні).

Висновок. У даній лабораторній роботі ми досліджували вибірку із 30 елементів, кожен з яких — це кількість проданих за тиждень телевізорів у певному магазині. Так, у першому магазині було продано за тиждень 6 телевізорів, у другому — 7, у третьому — 2 телевізори і т. д.

28

Проведені дослідження показують, що найменша кількість телевізорів, проданих за тиждень в магазині, — 2 шт., а найбільша — 8 шт.

Ми переконалися в тому, що сума всіх відносних частот дорівнює 1. Крім того, із таблиці відносних частот видно, що 3,3% всіх магазинів, в яких проводились дослідження, продали за тиждень лише 2 телевізори; 3,3% всіх магазинів — аж 8 телевізорів; 23% — по 5 і по 6 телевізорів.

Вибірка, що аналізується, — двомодальна, оскільки максимально можливій частоті (7) відповідають дві варіанти — 5 і 6. Це також підтверджується на основі побудованих полігонів, оскільки мода вибірки — це точка максимуму для полігона.

Відмітимо, що ламана на кожній із побудованих діаграм спочатку монотонно зростає, а потім монотонно спадає і не містить циклічних коливань.

Розмах вибіркових значень незначний. Знайдені значення моди свідчать про те, що найбільш часто в магазинах продають 5 чи 6 телевізорів за тиждень. Значення медіани (5) показує, що за тиждень половина всіх магазинів, що досліджуються, продають £ 5 телевізорів, а інша половина магазинів — ³ 5 телевізорів.

Лабораторна робота №3

Вибірки з неперервно розподіленими ознаками та їх характеристики

Основні поняття

Якщо ознака генеральної сукупності — неперервно розподілена випадкова величина ξ , або кількість спостережень — достатньо велика, то розглянутий нами у попередній лабораторній роботі підхід до аналізу даних — неефективний. Справді, виходячи з властивостей неперервної випадкової величини (для будь-якого дійсного числа x0 ймовірність P(ξ = x0 ) дорівнює нулю), ймовір-

ність того, що деякий елемент вибірки матиме велику частоту (чи велику відносну частоту), прямує до нуля. Аналогічно якщо об’єм вибірки достатньо великий, то елементи з великими частотами траплятимуться у вибірці досить рідко.

29

Тому для аналізу неперервних вибірок використовують підхід, який базується на розбитті вибірки на інтервали.

Якщо ознака ξ генеральної сукупності — неперервна випадкова величи-

на, то вибірку з цієї генеральної сукупності називатимемо неперервною.

У першу чергу для неперервної вибірки будують ранжований ряд, тобто впорядковують елементи вибірки від найменшого до найбільшого. Далі шукають об’єм, мінімальний та максимальний елементи, а також розмах вибірки.

Наступний крок — визначити кількість інтервалів для розбиття (якщо їх кількість не задано в умові завдання). У літературі можна знайти різні підходи до визначення кількості таких інтервалів, проте більшість дослідників вважають, що їх повинно бути не менше 5 і не більше 10. Досить часто у прикладних дослідженнях для визначення кількості інтервалів l використовують формулу Стерджеса:

l »1+ 3,322× lg n,

де n — об’єм досліджуваної вибірки. Зауважимо, що в результаті таких розрахунків практично завжди отримують не ціле число, а дробове, тому його заокруглюють до цілих.

Потім будують інтервальний варіаційний ряд — для цього необхідно весь вiдрiзок [a; b] , де a £ min(x1, x2 , ..., xn ), b ³ max(x1, x2 , ..., xn ) , поділити на l iнтервалiв однакової довжини, які не перетинаються між собою (без спільних

в якій ni (i =1,l) — інтервальні частоти, тобто кількість елементів вибірки,

які потрапляють в інтервал (zi−1; zi ].

30