1.10. Уравнение непрерывности

Динамика изменения неравновесных носителей по времени при наличии генерации и рекомбинации в полупроводнике, а также при протекании электрического тока определяется уравнением непрерывности. Для полупроводника n-типа уравнение непрерывности будет описывать динамику изменения концентрации дырок p_n:

(1.43)

где J_p - дырочный ток, включающий дрейфовую и диффузионную компоненту, G_p - темп генерации неравновесных носителей, а R_p - темп рекомбинации.

Уравнение непрерывности - это уравнение сохранения числа частиц в единице объема. Это уравнение показывает, как и по каким причинам изменяется концентрация неравновесных дырок со временем. Во-первых, концентрация дырок может изменяться из-за дивергенции потока дырок, что учитывает первое слагаемое. Во-вторых, концентрация дырок может изменяться из-за генерации (ударная ионизация, ионизация под действием света и т. д.). В-третьих, концентрация дырок может изменяться из-за их рекомбинации, что учитывает третье слагаемое [10, 5].

задача 1.1

Найти, чему равна собственная концентрация свободных носителей заряда в кремнии Si, германии Ge, арсениде галлия GaAs и антимониде индия InSb при комнатной температуре T=300 K и температуре жидкого азота T=77 K.

Концентрация собственных носителей заряда n_i имеет сильную температурную зависимость и определяется как

(1.1),

где эффективная плотность состояний в C и V зонах N_c,v также зависит от температуры T и эффективной массы носителей заряда в зоне m*:

(1.2).

Ширина запрещенной зоны E_g имеет слабую зависимость от температуры типа E_g =E_gо – aТ. Величины E_gо и a приведены в таблице "Свойства полупроводников при Т=300 К", там же можно найти величины N_c и N_v . Расчет значений эффективной плотности состояний в C и V зонах и концентрации собственных носителей заряда n_i при температуре жидкого азота 77 K приводится ниже.

   

	Si	Ge	GaAs	InSb
Nc, см-3	3.61018	1.41019	5.81016	5.11015
Nv,cм-3	1.41018	6.91018	9.81017	1.51018
ni,см-3	310-20	1.410-7	2.810-33	1.21010

 

Задача 1.2

Кремний Si и арсенид галлия GaAs легированы донорной примесью до концентрации N_d=10¹⁷ см^-3. Считая примесь полностью ионизованной, найти концентрацию основных и неосновных носителей заряда при температуре Т=300 K.

Примесь полностью ионизована, когда концентрация равновесных электронов равна концентрации легирующей примеси n₀=N_d. Из основного соотношения для полупроводников: n₀Чp₀=n_i² найдем концентрацию неосновных носителей заряда p₀=n_i²/n₀. Для Si  p₀=2.610³, для GaAs  p₀=1.210^–3 см^–3.

задача 1.3

Рассчитать объемное положение уровня Ферми j_o относительно середины запрещенной зоны в собственных полупроводниках – кремнии Si и антимониде индия InSb при температурах Т₁= 300 K и Т₂=77 K (с учетом различных значений эффективных масс электронов и дырок).

В собственном полупроводнике n₀=p₀ и положение уровня Ферми относительно середины запрещенной зоны полупроводника j₀ можно рассчитать как

(1.3)

j0	300 K	77 K
Si	-0.0124 эВ	-0,0032 эВ
InSb	+0,074 эВ	+0,019 эВ

   

Т.о., в кремнии  уровень Ферми лежит ниже, а в антимониде индия выше середины запрещенной зоны полупроводника E_i.

Зонная диаграмма полупроводника, когда  j_о>0, m*_p>m*_e.

 

задача 1.4

Найти объемное положение уровня Ферми j_o в германии Ge марки ГДА-10 при температуре Т=300 К.

В легированном полупроводнике p₀>>n_i ,положение уровня Ферми jо можно рассчитать по формуле

(1.4)

Концентрацию основных носителей p₀ найдем, зная величину удельного сопротивления r=10 Омсм, как

(1.5),

в результате: p₀ =3.310¹⁴ см^–3, j₀ =0.067 эВ.  

задача 1.6

Рассчитать положение уровня Ферми _ в приближении полностью ионизованной примеси в кремнии марки КЭФ-4.5 при температурах Т₁= 300 К и Т₂=77 К.

Зная удельное сопротивление r=4.5 Омсм, по формуле

(1.5)

найдем уровень легирования N_d =110¹⁵ см^–3, а далее по формуле

(1.4)

положение уровня Ферми j₀=0.284 эВ при 300 K и j₀=0.52 эВ при 77 K.  

задача 1.7

Найти удельное сопротивление  электронного и дырочного кремния Si с легирующей примесью N_d,a=10¹⁶ см^-3 при комнатной температуре.

n–Si =0.42 Омсм, p–Si =1.05 Омсм.

задача 1.8

Рассчитать собственное удельное сопротивление _i монокристаллов кремния Si, германия Ge, арсенида галлия GaAs и антимонида индия InSb при комнатной температуре.

В собственном полупроводнике удельная электропроводность равна  _i=qn_n+qp_p=qn_i(_n+_p) и соответственно _i=1/_i:

	Si	Ge	GaAs	InSb
i ,Омсм	1.9105	43	6.4107	410-3

 

задача 1.9

Найти концентрацию легирующей акцепторной примеси для кремния Si и германия Ge, при которой наступает вырождение концентрации свободных носителей заряда при комнатной температуре Т=300 К.

Вырождение в полупроводнике наступает, когда уровень Ферми F приближается к C– или V– зоне на расстояние порядка кТ, т.е.  F – E_v=кТ. В случае полной ионизации примеси концентрация дырок p определяется как

(1.6)

и равна уровню легирования N_a: N_a=p=N_v/q. Для Si: N_a=3.810¹⁸ см^–3, для Ge: N_a=2.210¹⁸ см^–3.

задача 1.10

Найти, как изменится объемное положение уровня Ферми _ в электронном арсениде галлия GaAs с =1 Омсм при изменении температуры от Т=300 К до Т=77 К.

N_d=7.410¹⁴ см^–3. Учитывая температурную зависимость n_i

 вычисляем ₀: при Т=300 К ₀=0.47 эВ и при 77 K ₀ =0.72 эВ, тогда ₀=0.25 эВ

задача 1.11

Полупроводники кремний Si, германий Ge, арсенид галлия GaAs и антимонид индия InSb легированы донорной примесью до концентрации N_d=10¹⁵ см^-3. Найти граничную температуру Т_гр, при которой собственная концентрация носителей заряда n_i еще ниже концентрации основных носителей заряда n_o.

Известно, что E_g и N_c,v зависят от температуры. Для оценки граничной температуры пренебрежем этим фактом. Тогда, учитывая, что n₀=N_d и n₀=n_i, после преобразования получим

 

	Si	Ge	GaAs	InSb
Tгр ,К	668	439	1104	195
Тгр ,оС	395	166	831	-78

 

задача 1.12

Качественно представить на графике зависимость концентрации электронов в частично компенсированном полупроводнике (N_d>N_a) ln n от 1/T. Оценить границы области температур, в которых nN_d-N_a для кремния, легированного мышьяком E_d=E_c-0.05 эВ.

На качественной зависимости ln n от 1/T можно выделить 3 участка    

1) с энергией активации E_a, соответствующей ионизации примеси; 2) собственно матрицы полупроводника; 3) нулевой. Нижняя граница области Т₁ определяется условием n=N_d–N_a, т.е.

Верхняя граница области Т₂ определяется условием n_i=N_d–N_a, т.е.

 

В первом приближении Т₁=580 К и Т₂=7010 К. Второе приближение дает существенно отличные значения  Т₁=78 К и Т₂=540 К.

задача 2.1

В образце p-Si, находящемся при Т=300 К, распределение примеси вдоль оси x: N_a(x)=Nexp(-x/x₀), где x₀=0.5 мкм. Считая p(x)=N_a(x), вычислить напряженность внутреннего электрического поля E_i и плотности диффузионного и дрейфового токов дырок в зависимости от N. Считать D_p=10 см²с^-1 и _p =400 см²В^-1с^-1.

В условиях термодинамического равновесия полная плотность тока дырок j_p равна нулю, т.е

Отсюда внутреннее поле

Продифференцировав p(x): dp/dx=–p/x₀, получим

и  j_pдиф= j_pдр= 3.210^–14N_a  

задача 2.2

Образец n-Si с удельным сопротивлением 0.6 Омсм содержит N_t=10¹⁵ см^-3 центров генерации-рекомбинации, расположенных на уровне Ферми для материaла с собственной проводимостью. Сечение захвата носителей заряда _t=10^-15 см², тепловая скорость v_t=10⁷ смс^-1