Конспект лекций по квантовой физике
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( + k2)'(r) = −4 (r); |
(20:4) |
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- «®£¨ç-ë© (20.1) á § ¬¥-®© |
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'(r) = Z |
eikR |
R (r0) d3r0; R = jr − r0j ; |
ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á㯥௮§¨æ¨¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ¢®«- eikR=R, à á室ï- é¨åáï ¨§ æ¥-â஢ r0, ¢ ª®â®àëå á®áâ।®â®ç¥-ë § àï¤ë (r0) d3r0.
•à¨ r a á®®â-®è¥-¨¥ (20.3) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¢¨¤ã (20.2). „¥©- á⢨⥫ì-®, ¯à¨ í⮬
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”®à¬ã« •¥§¥àä®à¤ . А⮬-ë© ä®à¬ä ªâ®à
•®à-®¢áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥
• áᬠâਢ ¥¬ ¯®â¥-æ¨ « ª ª ¢®§¬ãé¥-¨¥. „«ï ¯®«ãç¥-¨ï ¬¯«¨- âã¤ë à áá¥ï-¨ï ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® ¯®â¥-æ¨ «ã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ (20.5) -¥¢®§¬ãé¥--ãî ¢®«-®¢ãî äã-ªæ¨î
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(r) (0)(r) = eikz = eikr |
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e−iqr U(r) d3r; q = k0 − k; |
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2 h2 |
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dr 1 :
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ˆ-묨 á«®¢ ¬¨, å à ªâ¥à- ï ¯®â¥-æ¨ «ì- ï í-¥à£¨ï jU a j ¤®«¦- ¡ëâì ¬ « «¨¡® (¤«ï ¬¥¤«¥--ëå ç áâ¨æ) ¯® áà ¢-¥-¨î á å à ªâ¥à- -®© í-¥à£¨¥© Eå à h2=(ma2), «¨¡® (¤«п ¡лбвале з бв¨ж) ¯® ба ¢- -¥-¨о б Eå à ka (¢ ¯®á«¥¤-¥¬ á«ãç ¥ jU (a)j ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ -¥ ¬ « ¯® áà ¢-¥-¨î á Eå à).
Šà¨â¥à¨© ¯à¨¬¥-¨¬®á⨠¡®à-®¢áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï ¤«ï à áá¥ï- -¨ï ¬¥¤«¥--ëå ç áâ¨æ jU (a)j h2=(ma2) б®®в¢¥вбв¢г¥в ⮬г, зв® ¢ б«гз ¥ ¯а¨вп£¨¢ ой¥£® ¯®в¥-ж¨ « ¯а¨вп¦¥-¨¥ -¥¤®бв в®з-® ¤«п ®¡а §®¢ -¨п б¢п§ --®£® б®бв®п-¨п. ‚ б«гз ¥ ¡лбвале з бв¨ж гб«®- ¢¨¥ jU(a)j hv=a ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ® -¥®¯à¥¤¥«¥--®áâì ¢ í-¥à- £¨¨, á¢ï§ -- ï á ¢à¥¬¥-¥¬ ¯à®«¥â , ¤®«¦- ¡ëâì ¬-®£® ¡®«ìè¥ ¯®- â¥-æ¨ « ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï; ãá«®¢¨¥ ka 1 ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â §¤¥áì ¯à¨- ¬¥-¨¬®áâì ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®£® à áᬮâà¥-¨ï.
”®à¬ã« •¥§¥àä®à¤
„«ï ¯®«ï U (r) = − =r ªà¨â¥à¨© ¯à¨¬¥-¨¬®á⨠¡®à-®¢áª®£® ¯à¨- ¡«¨¦¥-¨ï =hv 1. •®à-®¢áª ï ¬¯«¨âã¤ à ¢-
f = 2 m ;
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16E2 sin4( =2) |
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ᮢ¯ ¤ ¥â á ª« áá¨ç¥áª¨¬. |
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-¥à¥«ï⨢¨áâ᪮¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨). •®«-®¥ á¥ç¥-¨¥ à ¢-® ¡¥áª®-¥ç-
-®áâ¨.
А⮬-ë© ä®à¬ä ªâ®à
•а¨ г¯аг£®¬ а бб¥п-¨¨ ¡лбвале н«¥ªва®-®¢ - ⮬¥ ¯®б«¥¤-¨© ¬®¦-® а бб¬ ва¨¢ вм ª ª ¨бв®з-¨ª бв в¨з¥бª®£® ¯®в¥-ж¨ « '(r), ᮧ¤ ¢ ¥¬®£® á।-¨¬ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ § à冷¢ ¢ ⮬¥
(r) = Ze (r) − en(r) :
62
’ ª ª ª '(r) = −4 (r), â® ¨§
('qeiqr) = −q2'qeiqr = −4 qeiqr
á«¥¤ã¥â, çâ® 'q = 4 q=q2. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
f (q) = 2e2m [Z − F (q)] :
h2q2
‡¤¥áì ¢¢¥¤¥- â ª - §ë¢ ¥¬ë© ⮬-ë© ä®à¬ä ªâ®à:
Z
F (q) = e−iqr n(r) d3r :
•à¨ qa 1, â® ¥áâì ¯à¨ ã£« å à áá¥ï-¨ï 1=(ka), ä®à¬ä ª- â®à jF j Z ¨ á¥ç¥-¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á १¥àä®à¤®¢áª¨¬. •â® ¢¯®«-¥ ¥áâ¥á⢥--®: ¡®«ì訥 㣫ë à áá¥ï-¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¬ «ë¬ ¯à¨- 楫ì-ë¬ ¯ à ¬¥âà ¬, ¯à¨ ª®â®àëå - «¥â îé ï ç áâ¨æ à áᥨ¢ - ¥âáï ï¤à®¬, ¯à ªâ¨ç¥áª¨ -¥íªà -¨à®¢ --ë¬.
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Z − F (q) |
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⮬¥ ¯®«-®¥ á¥ç¥-¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï |
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(¢ ®â«¨ç¨¥ ®â १¥àä®à¤®¢áª®£®) ª®-¥ç-ë¬. |
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U(r) = |
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63
Š®-¥ç-ë¥ á¥ç¥-¨ï ¢ ª¢ -⮢®© ¬¥å -¨ª¥
Ž¡á㤨¬ ¯®¤à®¡-¥¥ ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª¨¥ ¯®â¥-æ¨ «ë ¯à¨¢®¤ïâ ¢ ª¢ -- ⮢®© ¬¥å -¨ª¥ ª ª®-¥ç-ë¬ á¥ç¥-¨ï¬. •ãáâì - ¡®«ìè¨å à ááâ®ï- -¨ïå U (r) =rn, n > 0. ‚ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å -¨ª¥ ¯à¨ à áá¥ï-¨¨ ¢ â ª®¬ ¯®«¥ ¯®«-®¥ á¥ç¥-¨¥ ¡¥áª®-¥ç-®, â ª ª ª «î¡ë¬ ¡®«ì訬 ¯à¨æ¥«ì-ë¬ ¯ à ¬¥âà ¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ å®âï ¨ ¬ «ë¥, -® ª®-¥ç- -ë¥ ª« áá¨ç¥áª¨¥ ã£«ë ®âª«®-¥-¨ï
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-¥¥ r? < ) -¥®¯à¥¤¥«¥--®áâì ¯®¯¥à¥ç-®£® ¨¬¯ã«ìá p? h= r? > h= , ¯®í⮬㠪¢ -⮢ ï -¥®¯à¥¤¥«¥--®áâì 㣫 ®âª«®-¥-¨ï à ¢-
ª¢ |
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’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ n > 1 ª¢ > ª« áá ¨ ¯®í⮬㠪¢ -⮬¥å -¨ç¥- ᪨¥ १ã«ìâ âë ¬®£ãâ áãé¥á⢥--® ®â«¨ç âìáï ®â ª« áá¨ç¥áª¨å.
‡- ï ¯®¢¥¤¥-¨¥ U(r) - ¡®«ìè¨å à ááâ®ï-¨ïå, £¤¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¢á¥£¤ á« ¡®¥ ¨ ¯®í⮬㠡®à-®¢áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ ¯à¨¬¥-¨¬®, ¬®¦- -® ®æ¥-¨âì ¯®¢¥¤¥-¨¥ ¬¯«¨âã¤ë ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå 㣫®¢ à áá¥ï-¨ï:
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¯®«-®¥ á¥ç¥-¨¥ |
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‚Ž••Ž‘›
64
21.1. • áá¥ï-¨¥ - ¯àאַ㣮«ì-®© ¯®â¥-æ¨ «ì-®© ﬥ ¢ ¡®à-®¢- ᪮¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ (§ ¤ ç 1 ª x 126 ŠŒ). Ž¡á㤨âì ãá«®¢¨ï ¯à¨¬¥- -¨¬®á⨠¯à¨¡«¨¦¥-¨ï.
21.2.’® ¦¥ ¤«ï ¯®â¥-æ¨ « žª ¢ U (r) = ( =r) e−r=a.
21.3.’® ¦¥ ¤«ï ªã«®-®¢®£® ¯®â¥-æ¨ « U(r) = =r (¯à¥¤¥«ì-ë© á«ãç © ¯®â¥-æ¨ « žª ¢ ¯à¨ a ! 1).
21.4.• ©â¨ ¯®«-®¥ á¥ç¥-¨¥ à áá¥ï-¨ï ¡ëáâன ç áâ¨æë - ¯®- â¥-æ¨ «¥ žª ¢ U (r) = ( =r) e−r=a ¯à¨ ãá«®¢¨¨ =hv 1.
22. ” §®¢ ï ⥮à¨ï à áá¥ï-¨ï
• áá¥ï-¨¥ - áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç-®¬ ¯®â¥-æ¨ «¥ ï¥âáï ᨬ- ¬¥âà¨ç-ë¬, â® ¥áâì (r) § ¢¨á¨â «¨èì ®â r ¨ , -® -¥ ®â '. •®í⮬ã à §«®¦¥-¨¥ í⮣® à¥è¥-¨ï ¯® ¯ àæ¨ «ì-ë¬ ¢®«- ¬ ᮤ¥à¦¨â «¨èì
Yl0( ; ') / Pl(cos ):
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(22:1) |
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Š ª ¨§¢¥áâ-® (á¬. x15), |
=0 |
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—â®¡ë ¢ë¯®«-ï«®áì £à -¨ç-®¥ ãá«®¢¨¥ (20.2), -¥®¡å®¤¨¬® |
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(2l + 1) il ei l : |
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(2l + 1)fl(k)Pl(cos ) ; fl = Sl − 1; Sl = e2i l ; |
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f (k; ) = |
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(2l + 1) jflj2 = k2 |
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•®-ï⨥ ® -¥ã¯à㣮¬ á¥ç¥-¨¨
•¥è¥-¨¥ (22.1) ¯à¨ r ! 1 ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì -¥ ⮫쪮 ¢ ¢¨¤¥ (20.2), -® ¨ ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ãå áä¥à¨ç¥áª¨å ¢®«-, à á室ï饩áï ¨ á室ï- 饩áï:
(r) |
àá+ áå = |
1 |
X |
(2l+1)Pl(cos ) |
2Sl eikr |
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1)l e−ikr 3 |
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65
(à §ã¬¥¥âáï, ¯à¨ â ª®¬ à §¡¨¥-¨¨ à á室ïé ïáï ¢®«- àá ®â«¨ç ¥â-
áï ®â à á ¢ (20.2)). • àæ¨ «ì- ï ¬¯«¨â㤠à á室ïé¥ |
©áï ¢®«-ë ®â- |
«¨ç ¥âáï - ¬-®¦¨â¥«ì (−1)l+1Sl ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 |
¬¯«¨âã¤ë ¢ |
á室ï饩áï ¢®«-¥. …᫨ -¥â ¯®£«®é¥-¨ï ç áâ¨æ ᨫ®¢ë¬ æ¥-â஬, â® íâ®â ¬-®¦¨â¥«ì ¤®«¦¥- ¡ëâì ¯® ¬®¤ã«î à ¢¥- ¥¤¨-¨æ¥, jSlj = 1. …᫨ ¥áâì ¯®£«®é¥-¨¥, â® jSlj < 1, ¢¥«¨ç¨- jSlj2 å à ªâ¥à¨§ã¥â 㬥-ìè¥-¨¥ ¯®â®ª ç áâ¨æ ¢ à á室ï饩áï ¢®«-¥ ¯® áà ¢-¥-¨î á ¯®â®ª®¬ ç áâ¨æ ¢ á室ï饩áï. „¥©á⢨⥫ì-®,
Náå = Z |
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(2l + 1) ; |
(jáå)r r2 d = −mk l |
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l |
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: |
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„«ï ¯à®æ¥áᮢ à áá¥ï-¨ï ¨ ¯®£«®é¥-¨ï áãé¥áâ¢ãîâ ®¯à¥¤¥«¥--ë¥ ®£à -¨ç¥-¨ï ¨ á¢ï§¨. ‚¢¥¤¥¬ ¯®-ï⨥ ¯ à樮- «ì-®£® á¥ç¥-¨ï (l),
¯à¥¤áâ ¢¨¢ = |
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l (l). ‚ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å -¨ª¥ (l 1) ¬®¬¥-â ¨¬- |
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(l) = |
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= 1 -¥â -¨ ¯®£«®é¥-¨ï, -¨ à áá¥ï-¨ï; ¯à¨ jSlj = 1 ¥áâì |
|||||||||||||||||||||
⮫쪮 à |
áá¥ï-¨¥, -® -¥â ¯®£«®é¥-¨ï. ’ ª ª ª jSlj 1, â® |
|
|
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tot |
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in |
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ª« áá |
|
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|
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< 1), â® -¥¯à¥¬¥--® ¯à®¨áå®- |
|||||||||||||||||||||
¤¨â ¨ à áá¥ï-¨¥ ç áâ¨æ. •®£«®é¥-¨¥ ¬ ªá¨¬ «ì-® ¯à¨ Sl |
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|
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66
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tot = el + in = |
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¬¯«¨âã¤ë à áá¥ï-¨ï - |
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2k |
l |
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|
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Im f (k; = 0) = |
k |
tot : |
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…¥ á¬ëá« â®â ¦¥, çâ® ¨ ¢ ®¯â¨ª¥: ®á« ¡«¥-¨¥ ¯ ¤ î饣® ¯®â®ª ¯à®¨á室¨â § áç¥â ¨-â¥àä¥à¥-樨 ¯ ¤ î饩 ¢®«-ë ¨ ¢®«-ë, à á- á¥ï--®© ¯®¤ ®ç¥-ì ¬ «ë¬¨ 㣫 ¬¨.
“¯à㣮¥ à áá¥ï-¨¥ ¬¥¤«¥--ëå ç áâ¨æ
•à¨ ka 1 ¯à¨æ¥«ì-ë¥ ¯ à ¬¥âàë l = l=k a ¤«ï l 1, ¯®í⮬㠫¨èì s-¢®«- ¬®¦¥â ¤ ¢ âì § ¬¥â-®¥ à áá¥ï-¨¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
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f = |
e2i 0 − 1 |
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2ik |
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¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®¥ á¥ç¥-¨¥ ¨§®âய-® |
|
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= const = |
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d |
4 |
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¯®«-®¥ á¥ç¥-¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä §®© s-¢®«-ë |
|||||||
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= |
4 |
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•ãáâì ¨¤¥ «ì-® ¯®£«®é î騩 (ç¥à-ë©) è à ¨¬¥¥â à ¤¨ãá a. • б- ᬮва¨¬ а бб¥п-¨¥ ¡лбвале (ka 1) ç áâ¨æ - â ª®¬ è ॠ(¯à¨-
¬¥à: -¥©âà®-ë á í-¥à£¨¥© E 100 Œí‚ à áᥨ¢ îâáï - â殮«®¬ ï¤à¥ à ¤¨ãá a 10−12á¬, ¯à¨ í⮬ ka 10). •â § ¤ ç ¢¯®«-¥ - -
«®£¨ç- ¤¨äà ªæ¨¨ ¯«®áª®© ᢥ⮢®© ¢®«-ë - ç¥à-®¬ è à¥. •à¨- 楫ì-ë© ¯ à ¬¥âà l0 = a ᮮ⢥âáâ¢ã¥â l0 = ka 1. •à¨ l > l0
67
ç áâ¨æë -¥ áâ «ª¨¢ îâáï á è ஬, Sl = 1. •à¨ l < l0 ç áâ¨æë ¯®«- -®áâìî ¯®£«®é îâáï, Sl = 0. ‘âண® £®¢®àï, í⨠ã⢥ত¥-¨ï á¯à - ¢¥¤«¨¢ë «¨èì ¤«ï l l0 ¨ l l0, -® ®¡« áâì l l0 -¥ ¤ ¥â ¡®«ì讣® ¢ª« ¤ ¢ á¥ç¥-¨¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
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|
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«¨èì ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå 㣫®¢ |
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¯à¨ 1=(ka) :
“¯аг£®¥ а бб¥п-¨¥ ¡лбвале з бв¨ж - ¨¤¥ «м-® ®ва ¦ ой¥¬ и а¥
•ãáâì à ¤¨ãá è à a ¨ ka 1. •®«-®¥ á¥ç¥-¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ç¨á«® ç áâ¨æ, ¢ë¡ë¢è¨å ¨§ - ç «ì-®£® ¯ãçª . ‚ ª« áᨪ¥ íâ® á¥ç¥-¨¥ a2 á¢ï§ -® «¨èì á ¯àï¬ë¬ á⮫ª-®¢¥-¨¥¬ á ¬¨è¥-ìî. ‘ ãç¥â®¬ ¢®«- -®¢ëå ᢮©á⢠ç áâ¨æ ¨å ¢ë¡ë¢ -¨¥ ¨§ ¯ãçª , â® ¥áâì ¨§¬¥-¥-¨¥ - ç «ì-®£® ¨¬¯ã«ìá , á¢ï§ -® â ª¦¥ á ¤¨äà ªæ¨¥©.
Š ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥ Sl = 1 ¯à¨ l > l0. •à¨ l < l0 à¥è¥-¨¥ “˜ ¤«ï à ¤¨ «ì-®© ¢®«-®¢®© äã-ªæ¨¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Rkl (r) = 0 ¯à¨
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‘« £ ¥¬ë¥, ᮤ¥à¦ 騥 cos 2 l (−1)l cos(2ka), ¡ëáâà® ®á樫«¨àãî⠯ਠ¨§¬¥-¥-¨¨ l, ¨ ¯®íâ®¬ã ¨å ¢ª« ¤®¬ ¢ á㬬㠬®¦-® ¯à¥-¥- ¡à¥çì. ‚ ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬ = 2 a2, çâ® ¢¤¢®¥ ¯à¥¢ëè ¥â ª« áá¨ç¥- ᪮¥ á¥ç¥-¨¥ ª« áá = a2.
68
‚ ¤ --®¬ á«ãç ¥ ®â«¨ç¨¥ ®â ª« áá¨ç¥áª®£® १ã«ìâ â á¢ï§ -® á - «¨ç¨¥¬ ¯®¬¨¬® ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®£® à áá¥ï-¨ï, ®¡ãá«®¢«¥--®-
£®<㣫 ¬¨ 1=(ka), ¤¨äà ªæ¨®--®£® à áá¥ï-¨ï - ¬ «ë¥ 㣫ë |
|||
1=(ka). —⮡ë 㢨¤¥âì íâ®, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¬¯«¨âã¤ã à áá¥ï-¨ï |
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|
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¥¬ëå f = f¤¨ä + fª« áá, £¤¥ f¤¨ä ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬¯«¨- |
â㤮© à áá¥ï-¨ï ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, |
|
fª« áá = |
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l |
(2l + 1) e2i l Pl (cos ) |
|
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„®ª § ⥫ìá⢮ ⮣® ä ªâ , çâ® jfª« ááj2 a2=4 ¯à¨ 1=(ka) (¢ ¯®«-®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á ª« áá¨ç¥áª¨¬ ¨§®âய-ë¬ à áá¥ï-¨¥¬ d ª« áá=d = a2=4) ¬®¦-® - ©â¨ ¢ § ¤ ç¥ 13.32 ƒŠŠ.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ª« ¤ë f¤¨ä ¨ fª« áá ¢ ¯®«-®¥ á¥ç¥-¨¥ ®¤¨- ª®¢ë, ¢ª« ¤ ¨å ¨-â¥àä¥à¥-樨 ¯à¥-¥¡à¥¦¨¬® ¬ «.
„«ï ª« áá¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ ¤¨äà ªæ¨ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ -¥- ¡«î¤ ¥¬ . ’ ª, ¤«ï ç áâ¨æë á m 1 £, v 1 á¬/á ã£«ë ¤¨äà ªæ¨¨ - è ॠà - ¤¨ãá a 1 ᬠ- á⮫쪮 ¬ «ë, ¤¨ä h=(mva) 10−27, ç⮠㢨¤¥âì íâ® à áá¥ï-¨¥ ¬®¦-® ¡ë«® ¡ë «¨èì - à ááâ®ï-¨ïå a= ¤¨ä 1027 á¬.
•¥§®- -á-®¥ à áá¥ï-¨¥
•¥à¥¯¨è¥¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ (¯à¨ r ! 1)
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( ) |
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ᮤ¥а¦ вм в®«мª® а б室пйгобп ¢®«-г, в® ¥бвм |
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69
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|
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|
|
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|
|
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