6.4. Таблицы смертности

Таблицы смертности (дожития) - это первый и, пожалуй, самый распространенный и важный вид демографических таблиц. Как уже говорилось, именно с разработкой Дж. Граунтом первой в мире таблицы смертности связывают возникновение демографии как науки.

Принимая во внимание, что мы установили, что из каждых 100 родившихся приблизительно 36 не доживают до шестилетнего возраста и что, возможно, один доживает до 76 лет, мы, имея 7 десятилетий между 6 и 76 годами, пытались найти 6 промежуточных пропорциональных чисел между 64, доживающими до 6 лет, и тем 1, который доживает до76 лет. Мы нашли, что нижеследующие числа достаточно близки к истине: из каждых 100 родившихся умирают в пределах первых 6 лет - 36. В течение следующих 10 лет, или второго десятилетия, - 24. В течение третьего десятилетия - 15. В течение четвертого десятилетия - б. В течение пятого десятилетия - 4. В течение шестого - 3. В течение седьмого - 2. И в течение восьмого - 1.

Отсюда следует, что из упомянутых 100 родившихся в 6 лет остаются в живых 64. В 16 лет - 40; в 26 - 25; в 36 - 16; в 46 - 10; в 56 - 6; в 66 - 3; в

Граунт Дж. Естественные и политические наблюдения, сделанные над бюллетенями смертности.... Лондон, 1662. Цит. по: Smith D.P. Formal Demography. N. Y., London. 1983. P. 73.

Таблицы смертности (дожития) - это числовые модели смертности, служащие для характеристики ее общего уровня ивозрастных особенностей в различных населениях. Они представляют собой систему упорядоченных по возрасту и взаимосвязанных между собой рядов чисел, которые в своей совокупности описывают процесс вымирания некоторого теоретического поколения с фиксированной начальной численностью (корень таблицы). Обычно ее принимают равной некоторой степени 10, т.е.10 000, 100 000, 1 000 000 и т.п. Чаше всего за корень таблицы смертности принимают 100 000.

В демографии различают таблицы смертности для реального и условного поколения.

В зависимости от шага временной шкалы различают полные (шаг = 1 году) и краткие (шаг = 5 или 10 годам) таблицы.

Показатели (функции) таблиц смертности делятся на интервальные и кумулятивные. Первые характеризуют смертность на данном интервале возраста, вторые - за весь период жизнидо или после данного точного возраста.

Показатели (функции) таблиц смертности связаны между собой определенными соотношениями. Все они могут быть вычислены почти из любого из них, но обычно за исходный принимается тот, который наиболее простым и ясным образом характеризует процесс смертности и легче всего получается из статистических данных о смертности. Таким показателем является интервальная вероятность умереть в возрасте (х, х+п) лет, наиболее естественным образом связанная с повозрастнымикоэффициентами смертности. Обычно построение таблиц смертности начинается именно с этого показателя. И всю историю развития методов такого построения можно рассматривать каксовершенствование методов перехода от повозрастных коэффициентов смертности к табличным интервальным вероятностям смерти в возрасте (х, х + п) лет.

Рассмотрим на примере полной таблицы смертности основные ее функции (табл. 6.4):

Графа 1. Возрастной интервал(х, х + 1) год.

Графа 2.Числа доживающих до точного возрастах лет(l_Х). Первое число в этой графе - это конвенциональный корень таблицы смертности. Все прочие представляют собой числа доживающих до точного возраста х лет и равны разности чисел доживающих до точного возраста х-1 год и чисел умирающих на интервале возраста (х, х + 1) лет, т.е. l_x = l_{x 1 -} d_x. С другой стороны, посколькуd_x = l_x*q_x, каждоеl_x=l_{x 1} -l_{x 1}* *q_{x 1} = l_{x 1}*(1 - q_{x 1})= l_x *₁P_{x 1}. И поэтому l_x = l₀*p₀*p₁*...*p_{x 1}. Иначе говоря, числа доживающих равны вероятности того, что каждая единица исходной совокупности1₀ доживет до точноговозраста х лет.

Графа 3. Вероятность умереть на интервале возраста (х, х + 1) год,q_x. Каждоеq_x представляет собой вероятность того, что человек, достигший точного возраста х лет, не доживет до возрастах + 1 год. Эти вероятности рассчитываются на основе соответствующих повозрастных коэффициентов смертности реального населения. Именно их этих вероятностей затем рассчитываются все остальные показатели таблиц смертности.

Графа 4. Вероятность остаться в живых на интервале возраста(х, х+1) год,р_х. Каждоеp_xпредставляет собой вероятностьтого, что человек, достигший точного возраста х лет, доживет и до возраста х + 1 год. Является дополнением вероятности q_x до 1,т.е.р_х = 1 - q_x.

Графа 5. Числа умирающих на интервале возраста (х, х + 1) год,d_x. Эти числа также зависят от корня таблицы. Числа в графах 3-5 рассчитываются из наблюдаемыхq_x корня таблицы сиспользованием следующих соотношений: d_x= l_xq_x; l_x+l = l_x - d_x и р_x = 1-q_x.

Графа 6.Доля последнего года жизни для умирающих наинтервале возраста (х, х+1) лет, а'_х. Каждый из d_x, умирающих на возрастном интервале(х, х+1) лет, прожил полныех лет плюснекоторую часть этого возрастного интервала. Средняя из этих долей и обозначаетсяа '_х. Ее величина зависит от характера распределения случаев смерти внутри возрастного интервала (х, х + \) лет. В самых младших возрастах это распределение имеетIлевостороннюю асимметрию (т.е. сдвинуто к началу возрастного интервала), и потому величина а '_х меньше 1/2, чему она была бы равна в случае равномерного распределения и чему она конвенционально равна для возрастов старше 4 лет. Данный показатель играет важную роль в современных модификациях т.н. демографического метода построения таблиц смертности.

Доля последнего года жизни для умирающих на интервалевозраста(х, х + п) лет,(а '_х) рассчитывается в зависимости от особенностей распределения смертности на данном возрастноминтервале. В таблице приведены значения этого параметра, взятые из работы американского демографа Чин Лонг Чаня (См.:Chin Long Chiang. The Life Table and Its Construction // Introduction to Stochastic Processes in Biostatistics. N.Y., 1968. PP. 189-214).

Графа 7. Число человеко-лет, прожитых в возрастном интервале (х, х + 1) лет. L_x. Каждый из тех, кто проживет полный

Таблица 6,4

Функции таблиц смертности

Интервал возраста (х, х+n) пет	Числа доживающих до точного возраста х пет, I*	Вероятность умереть на интервале возраста (х, х+n) лет, nqx	Вероятность остаться в живых на интервале возраста (х, х+n) лет, nРx	Числа умирающих на интервале возраста (х, х+n) лет, ndx	Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х+n) пет, na'x	Числа живущих на интервале возраста (х, х+n) лет, nLx	Число человеко-лет, прожитых после достижения точного возраста х лет, Tх	Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни в возрасте х лет, лx
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0-1	100 000	ndx/lx	1 - nqx	lx*nqx	10	(lx - ndx)+ „а 'x *ndx	,,Ln	Tx/lx
1-2	100000-d0				.43
2-3	lx=lx-1-ndx				.45
3-4					.47
4-5					.49
5-					.50

возрастной интервал (х, х + 1) лет, вносит в общее число человеко-лет (/_r- d_x) лет. Каждый же из тех, кто умрет на этом интервале возраста, вносит вL_x в среднема '_х часть этого интервала. Отсюда: L_x - (l_x-d_x)'+ а'_х- d_x (х = О,1, 2- 1). В полных таблицах смертности в возрастах 5 лет и старше величина а '_х принимается равной 1/2 и, поэтому, для этих возрастовL_x -полными аналогами среднегодового населения.

Графа 8. Число человеко-лет, которое предстоит прожить после достижения точного возрастах лет,Т_x Это число равно сумме человеко-лет, прожитых в каждом возрастном интервале начиная с возраста х лет, или Т_х = L_x.

Графа 9. Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни в возрасте х лет, е^л_х. Это число показывает, сколько в среднем предстоит прожить человеку, достигшему возрастах лет. Поскольку всем дожившим до этого возраста (их число равно l_x предстоит прожить Т_х лет, постольку е^л_х=T_x/l_x , лет.

Каждое е^л_х суммирует смертность в возрастах старше x лет, что делает эту графу наиболее важной в таблице смертности. Болеетого, это одна из трех функций таблицы смертности (наряду с q_x иа'_х), которая имеет смысл безотносительно к корню таблицы. Как правило, е^л_х убывает с возрастом. Единственное исключение представляет собой возраст 0 лет, когдае^л₀<e^л₁ из-за высокой младенческой смертности. Это называетсяпарадоксом младенческой смертности. В высокоразвитых странах с очень низкими значениями младенческой смертности этот парадокс не действует.