Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Обратим внимание на структуру полученного решения. Первые два слагаемых – это общее решение однородного уравнения, последнее слагаемое является частным решением неоднородного уравнения.

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Теорема. Общее решение неоднородного

уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения y0(x) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения u(x):

y y0 (x) u(x)

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Метод вариации произвольных постоянных достаточно трудоёмкий. В некоторых случаях целесообразно использовать другие методы. Вначале отыскивается общее решение соответствующего однородного уравнения. Вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.

Частные случаи решения Д.У. второго порядка

1.Пусть правая часть уравнения является многочленом степени m:

f (x) a0 a1 x a2 x 2 ... am x m

Тогда частное решение уравнения следует искать в виде:

u(x) (C0 C1 x C2 x 2 ... Cm x m )x s

Частные случаи решения Д.У. второго порядка

Параметр s=0, если q 0 ;

s=1, если q 0, p 0;

s=2 , если q 0, p 0. .

Пример. Найти частное решение уравнения

y 3y 1 6x

Решение. По сформулированному правилу

частное решение будем искать в виде:

u(x) (C0 C1 x)x

Уравнение равносильно системе:

u(x) x x 2

Частные случаи решения Д.У. второго порядка

2. Пусть правая часть уравнения имеет вид:

f (x) Ae x

Тогда частное решение следует искать в виде

u(x) C0 x s e x

Показатель степени:

1.s=0, если не равно ни одному из корней характеристического многочлена;

2.s=1, если равен только одному из разных корней;

3.s=2, если корни одинаковые и равны .

Пример . Найти частное решение уравнения:

y 3y 2y e2 x

Решение. Характеристическое уравнение Имеет два различных корня k1=1 и k2=2.

Значение параметра α=2 совпадает со значением корня характеристического

уравнения. Поэтому s=1. Частное решение будем искать в виде: u(x) C0 xe x

Подставляя выражение для решения в уравнение, получим u(x) xe2 x

Ответ. u(x) xe2 x