Числовые ряды, функциональные ряды
Лекции по математике
Рекомендуемая литература
Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.
Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций. ВФ СПбГУСЭ, 2008.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Содержание
Знакопеременное ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Знакопеременные ряды
Ряд называется знакопеременным, если бесконечное число его членов имеет разные знаки.
Знакопеременный ряд называется
абсолютно сходящимся, если сходится
ряд, составленный из абсолютных величин
его членов: an
n 1
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Знакопеременные ряды
Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Знакочередующиеся ряды
Ряды, соседние члены которых имеют разные знаки, называются
знакочередующимися рядами.
Знакочередующиеся ряды записываются
так: ( 1)n 1 an |
, где все an 0 . |
n 1 |
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов
Признак Лейбница.
Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет
следующим условиям: 1) lim an 0 |
; |
|||
2) |
a1 a2 ... an |
... |
n |
|
|
|
|
|
|
Тогда этот знакочередующийся ряд сходится,
а его сумма не превосходит первого члена:
S a1
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов
Следствие. Обозначим rn разность между суммой ряда S и частичной суммой Sn:
rn=S – Sn, следовательно
rn an 1 an 2 ...
Если знакочередующийся ряд сходится, то |
|
выполняется неравенство |
rn an 1 |
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример. Исследовать на сходимость ряд ( 1)n 1
n 1 n
Решение. Так как все члены ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена равен нулю, то ряд сходится.
Заметим также, что ряд является условно сходящимся, так как гармонический ряд, составленный из модулей членов ряда, является расходящимся.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
|
|
|
Пример. Сколько членов ряда |
( 1)n 1 |
|
n 1 |
n |
|
надо взять, чтобы вычислить его с точностью до 0,01?
Решение. Так как |
|
rn |
|
|
an 1 , то запишем более |
|||||
|
|
|||||||||
сильное неравенство |
|
1 |
|
, откуда |
||||||
n 1 |
1 |
, |
n 99 |
|
|
n .1 |
0,01 |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. Для получения заданной точности надо взять не менее 99 членов ряда.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»