Пример

Линейные однородные Д.У. 2-го порядка, возможны варианты:

2.Корни характеристического уравнения действительные и равные. Тогда линейно независимые решения: y1(x)=ekx и y2(x)=kekx .

Cледовательно, общее решение имеет

вид: y C1ekx C2xekx

Линейные однородные Д.У. 2-го порядка, возможны варианты:

3. Корни характеристического уравнения комплексные, то есть k1,2 α βi . Тогда в качестве линейно независимых решений можно взять функции: y1(x)=eαxсosβx и y1(x)=eαxsinβx.

Следовательно, общее решение примет вид:

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y 16y 0

Решение. Составим характеристическое уравнение: k 2 16 0

Корни уравнения k1=4i и k2=-4i.

Общее решение имеет вид:

y C1 cos 4x C2 sin 4x

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

y f1(x)y f2 (x) f(x)

Рассмотрим методы решения неоднородного уравнения

Метод вариации произвольных коэффициентов

Сначала находится общее решение соответствующего однородного уравнения:

yC1 y1 C2 y2

Затем решение неоднородного уравнения находится в виде: y C1 (x) y1 C2 (x) y2

Метод вариации произвольных коэффициентов

Функции C1(x) и C2(x) могут быть найдены как решения системы:

C1 y1 C2 y2 0

C y C y 0

1 1 2 2

Пример 3. Решить уравнение y 3y 2y ex

Решение. Решим соответствующее однородное уравнение: y 3y 2y 0

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения

y C1e x C2 e2 x

По известным производным можно отыскать сами функции:

Ответ. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

y ( x C1)ex ( e x C2 )e2xC1ex C2e2x ( x 1)ex