Дифференциальные

Рекомендуемая литература

Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш.

Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.

Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.

Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математическому анализу. ВФ СПбГУСЭ, 2008.

Содержание

Линейные дифференциальные

уравнения n-го порядка

Линейные однородные

дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородные дифференциальные

уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Общий вид:

f0 (x)y(n) f1(x)y(n 1) ... fn (x)y f(x)

Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, Если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Определение. Функции y1(x), y2(x),…, yn(x) называются линейно независимыми,

если их линейная комбинация C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x)=0

равна нулю тогда и только тогда , когда равны нулю все коэффициенты C1, C2,…, Cn

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Теорема 1(о виде общего решения линейного однородного уравнения).

Пусть y1(x), y2(x),…, yn(x) линейно независимые решения линейного однородного уравнения, тогда функция

y(x) = C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x)

является общим решением этого уравнения.

Линейные однородные Д.У. 2-го порядка

Общий вид: y''+py'+qy=0, где p и q любые числа параметры уравнения.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, достаточно найти два его линейно

независимых частных решения. Будем искать эти решения в виде:

y=ekx

Линейные однородные Д.У. 2-го порядка

Подставляя это решение в уравнение, получим: k2ekx+pkekx+qekx=0 или ekx(k2+pk+q)=0

Для определения значения k получим квадратное уравнение:k2+pk+q=0

Уравнение k2+pk+q=0 называется

характеристическим.

Линейные однородные Д.У. 2-го порядка

Характеристическое уравнение:

k2 pk q 0

Найдём корни характеристического

Линейные однородные Д.У. 2-го порядка, возможны варианты:

1.Корни характеристического уравнения действительные и различные. Тогда линейно независимыми решениями будут функции y1(x)=ek1x и y2(x)=ek2x. Cледовательно, общее решение имеет