Ряды Тейлора и Маклорена
|
f (n ) (x ) |
|
|
n |
f (x) |
0 |
(x |
x0 ) |
|
n! |
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Представление числовых функций в виде рядов Тейлора и Маклорена позволяет эффективно решать множество прикладных задач, связанных с приближённым вычислением значений числовых функций, их интегрированием и дифференцированием.
Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций
ex 1 |
x |
|
|
x2 |
... |
xn |
... |
Область сходимости |
|
|
n! |
||||||
1! |
2! |
|
|
x ( , ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x x |
|
x 3 |
... ( 1)n 1 |
|
|
x 2n 1 |
|
|
|
|
... |
|||||||||
3! |
(2n 1)! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos x 1 |
x2 |
|
x4 |
... ( 1)n |
x2n |
|
... |
|
||||||||||||
2! |
|
(2n)! |
|
|
||||||||||||||||
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область сходимости
x ( , )
Область сходимости x ( , )
Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций
(1 x) 1 x ( 1) x2 |
... ( 1) ... ( n 1) xn ... |
|||||||||
2! |
|
|
|
|
n! |
|
|
|||
Интервал сходимости (- 1, 1) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 x) x |
x 2 |
|
x 3 |
|
... ( 1)n |
x n 1 |
|
... |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||||
Интервал сходимости (- 1, 1)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e x 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример. Разложить функцию |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
в ряд Маклорена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x 2 |
|
xn |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Применим формулу:e |
|
1 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
||||||||||||||||||||||||
|
1! |
2! |
n! |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
, получим: |
e x 2 1 |
|
|
x 2 |
|
x 4 |
|
... ( 1)n |
x 2n |
|
... |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||||||||
Заменяя x на x |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 e x2 |
x2 |
|
x4 |
... ( 1)n 1 |
|
x2n |
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1! |
2! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
e x2 |
1 |
x2 |
... ( 1)n 1 |
x2n 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение рядов в приближённых вычислениях
Пример. Вывести формулу для (1 x)n
Решение. В формуле
(1 x) 1 x |
( 1) x2 |
... |
( 1) ... ( n 1) xn ... |
|
2! |
|
n! |
заменим на целое число n:
(1 x)n 1 nx n(n 1) x2 ... n(n 1) ... (n n 1) xn 2! n!
Заметим, что комбинаторное число сочетаний из n по k вычисляется по формуле:
Cnk n(n 1) ... (n k 1) |
ИЛИ |
Cnk |
n! |
|
|
k!(n k)! |
|||||
k! |
|
|
|||
(1 x)n 1 Cn1 x Cn2 x2 ...Cnn xn
Эта формула называется биномом Ньютона.
Пример. Дана функция f(x)=(1+x)5. Найти коэффициент разложения при x5,
воспользовавшись формулой бинома Ньютона.
Решение.
(1 x)5 1 C51x C52 x2 C53 x3 C54 x4 ...C55 x5
C5 5! 1 5 0!5!
Пример. Вычислить cos18 с точностью до 0,0001.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
cos x 1 |
x2 |
|
x4 |
... ( 1)n |
x2n |
|
... |
|
|
|
|
2! |
|
(2n)! |
|
|||||
|
|
|
4! |
|
|
|
||||
Перейдём от градусной меры к радианной:
18
10
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
4 |
|
|
n |
|
1 |
|
2n |
|||||||||||||
cos18 cos |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..( 1) |
|
. |
|
|
|
|
|
... |
|||
10 |
|
10 |
|
|
|
10 |
|
|
10 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ряд знакочередующийся, то остаточный член не превосходит своего первого слагаемого:
1 |
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
6 |
||
|
|
|
|
|
0,000495... 0,0001 |
|
|
|
|
|
0,0001 |
|
|
|
|
6! |
|
||||||||
4! |
|
|||||||||||
10 |
|
|
|
10 |
|
|
||||||
|
cos18 1 |
0,04935 0,000405... 0,9511 |
||||||||||
Ответ. cos18 0,9511
Пример. С помощью разложения подынтегральной функции в ряд, вычислить с точностью до 0.001 интеграл:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ln(1 x) x |
|
x 2 |
|
|
x3 |
|
... ( 1)n |
|
x n 1 |
|
... |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln(1 x) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
x2 |
... ( 1)n |
xn |
|
... |
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
ln(1 x) dx 1 (1 |
x |
|
x2 |
|
... ( 1)n |
|
|
xn |
)dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|