Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
Подставляя найденные значения в многочлен, получим:
P (x) f (x ) |
f (x ) |
(x |
x ) |
f (x ) |
(x |
x ) |
2 |
... |
f (n) (x ) |
(x |
x ) |
n |
|||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n |
0 |
1! |
|
0 |
2! |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
n! |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
Обозначим rn(x) разность значений функции и построенного многочлена.
rn (x) f (x) Pn (x)
Тогда
f (x) Pn (x) rn (x)
rn(x) называют остаточным членом.
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
Для тех x, для которых остаточный член мал, многочлен даёт приближённое значение для функции . Можно показать, что
rn |
(x) |
f (n 1) (a) |
(x x0 )n 1, |
a x0 , x |
||||
(n 1)! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
С учётом формулы для остаточного члена, получим:
f (x) f (x ) |
f (x ) |
(x |
x ) |
f (x ) |
(x |
x ) |
2 |
... |
f (n) (x ) |
(x |
x ) |
n |
|
f (n 1) |
(a) |
(x x ) |
n 1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
1! |
|
0 |
2! |
|
0 |
|
|
n! |
|
0 |
|
|
(n 1)! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Эту формулу называют формулой Тейлора
для функции f(x).
Она находит широкое применение.
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
Если в формуле Тейлора положить x0=0, то получим:
f (x) f (0) |
|
f (0) |
x |
f (0) |
x |
2 |
... |
f (n) (0) |
x |
n |
|
f (n 1) (a) |
x |
n 1 |
1! |
2! |
|
n! |
|
(n 1)! |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a 0, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.
|
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
n |
0 |
|
|
|
|
Тейлора и Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Формула Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f (x ) |
|
|
f (x ) |
|
2 |
|
|
f (n) (x ) |
|
n |
|
|
f (n 1) (a) |
|
|
n 1 |
||||
f (x) f (x ) |
0 |
(x |
x ) |
0 |
|
(x x |
) |
... |
|
0 |
(x x ) |
|
|
|
(x x ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
1! |
|
0 |
2! |
|
|
0 |
|
|
|
n! |
|
|
0 |
|
|
(n 1)! |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ax0 , x
Формула Маклорена
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) f (0) |
f (0) |
x |
f (0) |
x |
2 |
... |
f (n) (0) |
x |
n |
|
f (n 1) (a) |
x |
n 1 |
1! |
2! |
|
n! |
|
(n 1)! |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 0, x
Пример. Вывести формулу Маклорена для функции ex. Решение. Воспользуемся формулой
|
f (x) f (0) |
f (0) |
x |
f (0) |
x2 |
... |
f (n) (0) |
xn |
f (n 1) (a) |
xn 1 |
a 0, x |
|
1! |
2! |
n! |
(n 1)! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)=ex; f'(x)=ex; f'' (x)=ex; …; f(n) (x)=ex; f (0)=1; f'(0)=1; f'' (0)=1; …; f(n) (0)=1;
Формула Маклорена для функции ex примет вид:
ex 1 |
x |
|
|
x2 |
... |
xn |
ea xn 1 |
a 0, x |
|||
|
|
n! |
|||||||||
1! |
2! |
|
|
|
(n 1)! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы Тейлора и Маклорена применяют при приближённых вычислениях, позволяющих заменить функцию сложной природы многочленом.
Погрешность вычислений равна значению остаточного
члена в формуле Маклорена: r (x) ea xn 1 |
a 0, x |
|||||||||
Оценим остаточный член: |
n |
(n 1)! |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
r (x) |
|
|
|
ex xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что при заданном значении х значение остаточного члена тем меньше, чем больше n.
Ряды Тейлора и Маклорена
|
f (n ) (x ) |
|
|
n |
f (x) |
0 |
(x |
x0 ) |
|
n! |
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рядом Тейлора называют выражение вида:
f (x) f (x0 ) |
f (x0 ) |
(x |
x0 ) |
f (x0 ) |
(x |
x0 ) |
2 |
... |
|
f (n) (x ) |
|
|
n |
|
|
|
|
0 |
(x |
x0 ) |
|
||||||
1! |
2! |
|
|
||||||||||
|
n! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
Остаточный член этого ряда равен :
rn (x) f (n 1) (a) (x x0 )n 1
(n 1)!
Ряды Тейлора и Маклорена
|
f (n ) (x ) |
|
|
n |
f (x) |
0 |
(x |
x0 ) |
|
n! |
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Числовой ряд Тейлора сходится к функции f(x) в
интервале (x0-R, x0+R), если в этом интервале |
||
выполняется условие |
lim rn (x) 0 |
. |
|
n |
|
При x0 =0 получается ряд Маклорена:
f (x) f (x0 ) f (x0 ) x f (x0 ) x2 ... f n (x0 ) xn ...
1! 2! n!