Числовые ряды, функциональные ряды
Лекции по математике
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Рекомендуемая литература
Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.
Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций. ВФ СПбГУСЭ, 2008.
Содержание
Формулы Тейлора и Маклорена
Ряды Тейлора и Маклорена
Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций
Применение рядов в приближённых вычислениях
Формулы Тейлора и Маклорена
Напомним, что степенным рядом |
|
||||
|
|
|
|
|
|
называется ряд |
|
an |
(x |
c)n |
, |
|
|||||
n 1
где an - общий член числовой последовательности, c - любое число.
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
Как вычислить значение функции с помощью только операций сложения и умножения?
Попытаемся заменить функцию f(x) многочленом Pn(x)
Pn (x) c0 c1 (x x0 ) c2 (x x0 )2 c3 (x x0 )3 ... cn (x x0 )n
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
Коэффициенты многочлена с0,с1,…,сn следует подобрать таким образом, чтобы погрешность вычислений была незначительной.
Пусть функция f(x) определена на некотором
интервале, содержащем точку x0, и для неё в этом интервале существуют все производные до n-го порядка включительно.
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
Подберём коэффициенты многочлена с0,с1, …,сn таким образом, чтобы значение многочлена в точке x0 равнялось значению функции в этой точке, а значения его производных до n-го порядка равнялись значениям соответствующих производных функции в этой точке:
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (x) c |
c |
(x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
2 |
0 |
n |
|
0 |
|
Тейлора и Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P (x |
) f (x |
);P (x |
) f |
(x |
);...;P (n) |
f (n) (x |
) |
||||||||
n |
0 |
0 |
|
n |
0 |
|
|
0 |
|
|
n |
|
0 |
|
|
Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к самой функции f(x).
f (x) c0 c1 (x x0 ) c2 (x x0 )2 ... cn (x x0 )n
P (x) c |
c |
(x x |
) c |
(x x |
)2 c |
(x x |
)3 |
... c |
(x x |
0 |
)n |
||||||||||
n |
0 |
1 |
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
P (x) |
c |
2c |
(x x |
0 |
) 3c |
(x x |
)2 ... nc |
(x x |
)n 1 |
||||||||||||
n |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
n |
|
|
0 |
|
|
|
P |
(x) 2c |
3 2 (x x |
) ... n(n 1)c |
n |
(x |
x |
)n 2 |
|
|
||||||||||||
n |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
………………………………………………………… |
|
|
|||||||||||||||||||
P (n) |
n(n 1)(n |
|
2)...2 1 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) c |
c (x x |
) c |
(x x |
)2 ... c |
(x x |
)n |
|
0 |
1 0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
Тейлора и Маклорена
Полагая в формулах x=x0, получим:
Pn (x0 ) c0 f (x0 );
Pn (x0 ) c1 f (x0 );
Pn (x0 ) 2 1 c2 f (x0 );
………………
Pn(n) n(n 1)(n 2)...2 1 cn f (n) (x0 );
с0 f (x0 );
c1 f (x0 ); c2 f (x0 );
2!
………………
cn f (nn) (!x0 ).