Инвариантность формы
дифференциала
Форма записи дифференциала не изменится, если осуществить замену переменной.
Пусть y=f(u), dy fu du
Введём замену переменной: u= g(x), в этом случае
|
(x) dx |
|
Тогда |
du g |
|
|
|
|
dy fu gx dx fx dx
Это свойство широко применяется при отыскании первообразной для заданной функции.
© И.Р.Тимошина «Дифференцмальное и |
11 |
|
|
интегральное исчисление» |
|
Применение дифференциалов
для приближённых вычислений
Используя свойства дифференциала можно получить следующие приближённые формулы при<<1:
(1 α)n 1 nα
n
1 α 1 αn
1 1 α
1 α
sinα α
cosα 1 α2 2
eα 1
ln(1 α) α
© И.Р.Тимошина «Дифференцмальное и |
12 |
|
|
интегральное исчисление» |
|
Основные теоремы
дифференциального исчисления
Правило Лопиталя (следствие теоремы Коши). Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных.
|
f(x) |
|
|
|
lim |
lim |
f (x) |
||
g(x) |
g (x) |
|||
x x0 |
x x0 |
© И.Р.Тимошина «Дифференцмальное и |
13 |
|
|
интегральное исчисление» |
|
Схема исследования функции и построения графика
1.Найти область определения функции.
2.Исследовать функцию на чётность – нечётность.
3.Найти точки разрыва и вертикальные асимптоты.
4.Исследовать поведение функции при x→∞ и найти наклонные асимтоты.
И.Р.Тимошина14 "Дифференциальное и интегральное исчисление",
презентации лекций
Схема исследования функции и построения графика
5.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7.Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
И.Р.Тимошина15 "Дифференциальное и интегральное исчисление",
презентации лекций