Дифференциальное и

интегральное

исчисление

Лекции по математике для студентов I курса

Содержание

Дифференциал функции

Геометрический смысл дифференциала, свойства

Применение дифференциала для приближённых вычислений

Основные теоремы дифференциального исчисления

Исследование функций и построение графиков

Дифференциал

функции

Пусть приращение функции в точке xo можно представить в виде: ∆f(xo)=A∆x+o(∆x),

где функция o(∆x) удовлетворяет условию:

Дифференциалом функции называется

линейная часть приращения функции

df(xo)=A∆x.

Дифференциал

функции

Обозначения:

df (xo); df;

dy.

Геометрический

смысл дифференциала

Дифференциал функции равен приращению касательной, проведённой к графику функции в данной точке.

Теорема

Теорема. Для того, чтобы числовую функцию можно было представить в виде ∆f(xo)=A∆x+o(∆x), необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела конечную производную в точке xo.

Доказательство. Разделим обе части выражения ∆f(xo)=A∆x+o(∆x) на ∆x и перейдём к пределу при

∆x→0. lim lim A A f (x0 ))Δf o(Δxx

Это означает, что для дифференцируемой функции df(xo)=f’ (xo)∙ ∆x

Так как df(x)=f’ (x)∙ ∆x, а ∆x=dx, то df(x)=f’ (x)∙ dx или

Свойства

дифференциала

1.d(c f(x)) c df(x)

2.d(f(x) g(x)) df(x) dg(x)

3.d(f(x) g(x)) f(x) dg(x) g(x) df(x)