Решение
a) y x1 1;
вточке xо=1 разрыв 2 рода.
b)y x2 1; x 1
вточке xо=1
устранимый разрыв 1 рода.
c) y |
1 |
; |
|
||
1/( x-1) |
||
1 2 |
|
|
в точке xо=1
неустранимый разрыв 1
рода.
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
|
x |
2 |
1 |
|
|
||
|
|
, если |
x 1. |
||||
x 1 |
|
||||||
d) y |
|||||||
|
|
|
2, если |
x 1 |
|||
|
|
|
|||||
Функция непрерывна в точке xо=1
11
Приращение независимой переменной
иприращение функции
Пусть функция f(x) определена на некотором
числовом множестве ,
xo- заданная точка, x - произвольная точка.
Приращение независимой переменной и приращение функции
Число x=x- xo называют
приращением независимой переменной x.
Очевидно, что x=xo+ x
Число y= f(xo+ x)-f(x) (или f) называют
приращением функции f(x) в точке xo.
|
|
Условия непрерывности в точке xo |
|
Замечание |
1. |
f(x) определена в точке xo; |
|
2. |
имеет конечный предел при x |
||
|
|
lim f (x) f (x0 ) |
|
|
|
x xx0 o; |
|
|
|
3. |
. |
Отметим, что непрерывность функции f(x) в точке |
|||
|
xo равносильна условию |
lim f 0 . |
|
|
|
|
x 0 |
Другими словами, малому изменения аргумента соответствует малое изменение значения функции.
Это условие может также служить определением
непрерывности функции f(x) в точке xo.
© И.Р.Тимошина |
14 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Определение
Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].
Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Функция f(x) ограничена на отрезке [a, b].
Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своего наименьшего
и наибольшего значения.
Теорема 3 (теорема Больцано-Коши). Пусть m и M соответственно наименьшее и
наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b].
Тогда отрезок [m, M] является областью значений функции f(x).
Теорема 3
Теорема 3 означает, что для любого числа из области значений функции, μ [m, M], найдётся такой аргумент xo [a, b], что f(xo)=μ.
© И.Р.Тимошина |
17 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Пример
Записать вид
приращений числовых функций в точке xo и вычислить эти
приращения при xo=1 и ∆x=1:
a) y=2x 2; b) y=x2+1
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Решение.
a) f(xo) =2xo 2; f(xo+∆x)= 2(xo+∆x) 2; ∆f (xo)=f(xo+∆x) f(xo)= =2(xo+∆x) 2 2xo+2=2∆x; ∆f (xo) =2∆x;
∆f (1) =2∙1=2.
Заметим, что приращение
линейной функции не зависит от xo и
пропорционально ∆x .
18
Пример
Решение.
b)f(xo) =xo2+1;
f(xo+∆x)=(xo+∆x)2+1; ∆f (xo)=f(xo+∆x) f(xo)= =(xo+∆x)2+1 xo2 1=
xo2+2xo∆x+(∆x)2+1 xo2 1= =2xo∆x+(∆x)2;
∆f (xo) =2xo∆x+(∆x)2; ∆f (1) =2∙1∙1+1=3.
Заметим, что приращение
нелинейной функции зависит от xo и от ∆x.
© И.Р.Тимошина |
19 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Главное
1. Два эквивалентных определения непрерывности:
Условия непрерывности в точке xo |
|
|
1. |
f(x) определена в точке xo; |
lim f 0 |
2. |
имеет конечный предел при x |
x 0 |
|
||
|
lim f (x) f (x0 ) |
|
|
x xx0 o; |
|
2.3.Виды разрывов:. устранимый 1 рода; неустранимый 1 рода; 2 рода.
3. Теоремы о функции, непрерывной на отрезке.
© И.Р.Тимошина |
20 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|