Множества.
Числовые функции
Лекции по математике для студентов I курса
Содержание
Непрерывность числовых функций
Свойства функций, непрерывных в точке
Приращение независимой переменной и приращение функции
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывность
числовых функций
Сравним графики различных функций:
Первый график соответствует непрерывной функции, а два других графика имеют разрывы.
Непрерывность
числовых функций
Функция f(x) называется непрерывной в точке xo, если она удовлетворяет условиям:
1.f(x) определена в точке xo;
2.имеет конечный предел при x xo;
3.lim f (x) f (x0 ) .
x x0
Непрерывность
числовых функций
Следствие. Из определения следует, что
lim f (x) f ( lim x) |
|
x x0 |
x x0 |
т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.
Например,
2 |
|
lim ( x2 5) |
e9 |
limex |
5 |
ex 2 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия непрерывности в точке xo |
|
|||||
|
|
|
Примеры |
1. |
f(x) определена в точке xo; |
|
||||||||
|
|
|
2. |
имеет конечный предел при x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) f (x0 ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x xx0 o; |
|
||||
|
|
Исследовать на |
3. |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
непрерывность в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
xо=0 следующие |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a) y=1/x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b) |
x 1 при |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 при |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
при |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
10 |
при |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d) y=x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© И.Р.Тимошина |
6 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
|
|
Условия непрерывности в точке xo |
|
||||||
Решение |
|
1. |
f(x) определена в точке xo; |
|
|||||
|
2. |
имеет конечный предел при x |
|
||||||
|
|
|
lim f (x) f (x0 ) |
|
|
|
|||
|
|
|
x xx0 o; |
|
|
|
|||
a) в точке xo=0 функция не является |
|
3. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
b) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывной, т.к. в этой точке она |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не определена; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) в точке xo=0 функция не является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывной, (пределы функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слева и справа разные; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) в точке xo=0 функция не является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
|
|
|
|
d) |
|
||
непрерывной, т.к. |
; |
|
|
|
|
|
|||
d) в точке xo=0 функция является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim f (x) f (0) |
|
|
г) y=x2 |
x 0 |
|
© И.Р.Тимошина |
7 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Свойства функций, непрерывных в точке
1.Если функции непрерывны в точке xo, то f(x)+g(x), f(x) g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) (при условии, что g(x)≠0)
являются функциями, непрерывными в точке xo.
2.Если функция f(x) непрерывна в точке xo и f(xo)>0 , то существует такая окрестность точки xo, в которой f(x)>0.
3.Если функция f(u) непрерывна в точке uo, а
функция g(x) непрерывна в точке xo, причём g(xo)= uo, то сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке xo.
Виды точек разрыва
Точки неустранимого разрыва первого рода (существуют односторонние конечные пределы функции слева и справа, не равные друг другу).
Точки устранимого разрыва первого рода (существуют односторонние конечные пределы функции слева и справа, равные друг другу).
Точки разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует).
Вопрос на засыпку
Какие из данных функций являются непрерывными в точке xо=1? В случае нарушения непрерывности, установить характер точки разрыва:
a) y |
|
1 |
|
|
|
; b) y |
x |
2 |
1 |
; c) y |
1 |
; |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1/( x-1) |
|||||||||||
x |
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
1 2 |
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
, если |
|
|
x 1. |
|
|
|||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
d) y |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2, если |
|
x 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
© И.Р.Тимошина |
10 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|