Свойства градиента |
|
fl ( f,e) |
3.Градиент функции в данной точке перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.
Пусть e единичный вектор, касательный к линии уровня функции в данной точке. Так как вдоль линии уровня значение функции не меняется, то
|
|
fl f e 0 |
f e |
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
21 |
|
|
переменных» |
|
Пример
Построить линию уровня и градиент функции z=(x 2)2+ (y 1) 2 в точке Mо(4,3).
Решение.
1.Вычислим значение функции в заданной точке: z=(4 2)2+(3 1) 2 = 8.
2.Уравнение линии уровня, проходящей
через эту точку примет вид: (x 2)2+(y 1) 2 = 8.
Это окружность с центром в точке (2; 1) и радиусом 2√2. |
|
fx 2 (x 2) |
f (2 (x 2),2 (y 1)) |
3. f 2 (y 1) |
f(M ) (4,4) |
y |
|
|
0 |
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
22 |
|
|
переменных» |
|
Пример
f(M0 ) (4,4)
Mо(4,3)
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
23 |
|
|
переменных» |
|
Пример |
fx 2 (x 2) |
|
|
fy 2 (y 1) |
|
Вычислить производные функции z=(x 2)2+(y 1) 2 в |
|
точке Mо(3,2) по следующим направлениям: l1(3, 4); |
|
l2=grad z(Mо); l2 направление, составляющее угол в 60о |
|
с градиентом функции в точке Mо(2,1). В каком из этих |
|
направлений скорость изменения функции наибольшая? |
|
Решение.
1. |
Из предыдущего задания f (2 (x 2),2 (y 1)) |
|
2. |
f(M0 ) (2,2) |
равна √9+16=5 . Единичный |
Длина вектора : l1 |
||
вектор, совпадающий по с направлению l1: е1=(3/5, 4/5)
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
24 |
|
|
переменных» |
|
Пример
Производная по направлению l1(3, 4):
z z e |
|
3 |
, |
4 |
|
|
6 |
|
8 |
14 |
2,8 |
||
(2,2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l1 |
1 |
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Длина вектора : l1 (2, 2) равна √4+4=2 √2 Единичный вектор, совпадающий по направлению l2: е2=(√2/2, √2/2)
|
Производная по |
направлению l2= grad z(Mо) : |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
zl2 |
z e2 (2,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4. Производная по направлению l3: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
сos60 |
2 |
|
2 |
0,5 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
zl3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|||
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
переменных» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы на засыпку
Градиент функции в заданной точке это…
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
26 |
|
|
переменных» |
|
Вопросы на засыпку
Градиент функции в заданной точке
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
27 |
|
|
переменных» |
|
Вопросы на засыпку
Производная по направления функции в заданной точке это…
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
28 |
|
|
переменных» |
|
Вопросы на засыпку
Производную функции по направлению l можно вычислять по формуле…
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
29 |
|
|
переменных» |
|
Вопросы на засыпку
Заданы: функция z=3x2y+x/y y/x , точка Mо(1,1), направления l1=(3, 4), l2= grad z(Mо).
Тогда
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
30 |
|
|
переменных» |
|