Производная по направлению

имеет координаты M (x0+t∙cos , y0+t∙sin ).

Если t>0, то направление вектора MоM совпадает с е

Производная по направлению

Приращением функции z = f(x,y) в точке

Mо(xо,yо) по направлению l называется число:

lf=f(x0+t∙cos , y0+t∙sin ) f(x0, y0)

Производной функции z = f(x,y) в точке Mо(xо,yо) по направлению l называется число:

zl,fl, zl , fl

Свойства производной по

направлению

1.Производная по направлению показывает, с какой скоростью изменяется функция в данном направлении.

2.Частная производная по переменной x равна

производной по направлению, совпадающему с осью Ox, частная производная по переменной y равна

производной по направлению, совпадающему с осью Oy.

3.Если производная по направлению положительна, то функция возрастает в данном направлении.

4.Если производная по направлению отрицательна, то функция убывает.

Пример

Вычислить производную функции z=8x2y3 2x2y2 10x по направлению, составляющему 30о с осью Ox

в точке Mо(2,1).

3. zl 14 cos30 80 sin30 14 23 80 21 73 40;

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор с координатами

(f ,f )

x y

Обозначения:

gradf, f, gradz, z

Рассмотрим скалярное произведение градиента функции и единичного вектора е=(cos , sin ),

совпадающего по направлению с лучом l:

f e fxcosα fysinα

Сравнивая это выражение с формулой для вычисления производной по направлению

получим, что производная по направлению равна скалярному произведению градиента

и единичного вектора, задающего это направление:

fl f e

Пусть φ угол между градиентом и единичным вектором.

Из определения скалярного произведения

т.е. производная по направлению равна проекции вектора градиента на луч, задающий это направление!

Свойства градиента fl f cos

2.Градиент функции задаёт направление

наискорейшего возрастания функции в данной точке. В этом случае угол φ=0, cos 0=1

и производная по направлению принимает наибольшее значение:

fl f cos f