Числовые функции
нескольких переменных
Лекции по математике для студентов I курса
1
Рекомендуемая литература
Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.
Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математическому анализу. ВФ СПбГУСЭ, 2008.
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
2 |
|
|
переменных» |
|
Разделы лекции
Производные высших порядков
Производная по направлению
Градиент
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
3 |
|
|
переменных» |
|
Производные высших порядков
Предположим, что функция двух переменных
z = f(x,y) имеет частные производные по x и по y.
Так как частные производные являются функциями переменных x и y, то у каждой из них в свою очередь могут существовать частные производные по любому из этих аргументов.
Полученные таким образом производные называются частными производными второго порядка и т.д.
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
4 |
|
|
переменных» |
|
Производные высших порядков
Обозначения: |
f ,f ,f ,f , |
2f |
, |
2f |
, |
2f |
|
|
|
|
x y |
||||||
|
xx yy xy yx x2 |
|
y2 |
|||||
Производные |
f |
,f называют вторыми |
||||||
|
xx |
yy |
|
|
|
|
|
|
производными по переменным x и y |
|
|
||||||
соответственно. |
f ,f называют смешанными |
|||||||
Производные |
||||||||
производными. |
xy |
yx |
|
|
|
|
|
|
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
5 |
|
|
переменных» |
|
Пример
Найти частные производные второго порядка функции z=8x2y3 2x2y2 10x
Решение.
1.Производные первого порядка:
2.Производные второго порядка:
fx 16xy3 4xy2 10; fy 24x2y2 4x2y
f 16y3 4y2;
xx
f 48x2y 4x2;
yy
f 48xy2 8xy;
xy
f 48xy2 8xy.
yx
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
6 |
|
|
переменных» |
|
|
|
Производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fxy (x,y) |
fyx (x,y) |
|
||||
|
|
высших порядков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Теорема. Если частные производные |
f |
и |
f |
|
|||
|
|
xy |
|
yx |
|
||||
|
|
существуют в некоторой окрестности точки |
(x, y) и |
|
|||||
|
|
непрерывны в этой точке, то |
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x,y) f (x,y) |
|
|
|
|
|
||
|
|
xy |
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
7 |
|
|
переменных» |
|
Производная по направлению
В плоскости xOy зададим произвольный угол и единичный вектор
е=(cos , sin )
направленный под углом
к оси Ox. |
е |
Пусть l луч, |
совпадающий по направлению с вектором
, точка Mое(xо,yо) l.
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
8 |
|
|
переменных» |
|
Производная по направлению
Сравним, как могут изменяться функции одной переменной и двух переменных в заданной точке.
|
f(x)=x^2 |
|
|
8 |
|
f(x) |
4 |
|
|
|
|
3 |
0 |
3 |
|
x |
Mо |
|
|
Всего два возможных направления изменения
Mо
Бесчисленное множество возможных направлений изменения
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
9 |
|
|
переменных» |
|
Производная по направлению
В плоскости xOy зададим произвольный угол и единичный вектор
е=(cos , sin )
направленный под углом
к оси Ox. |
е |
Пусть l луч, |
совпадающий по направлению с вектором
, точка Mое(xо,yо) l.
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
10 |
|
|
переменных» |
|