Дифференциальное и

Рекомендуемая литература

Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.

Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.

Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математическому анализу. ВФ СПбГУСЭ, 2008.

Задача

о мгновенной скорости

Пусть вдоль некоторой линии движется

Обозначим s(t) и s(t+∆t) путь, пройденный точкой за время t и t+∆t соответственно.

Тогда ∆s= s(t+∆t) s(t) – путь, пройденный точкой за время ∆t.

Задача

омгновенной скорости

Проблема. А как найти мгновенную скорость в момент времени t?

Видимо, надо уменьшать время наблюдения ∆ t.

На языке математики это можно записать так:

Предполагается, что этот предел существует.Этот предел называют производной:

v(t ) s (t )

Производная

функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке X. Возьмём на этом промежутке точку xo и точку xo+∆x.

Тогда ∆y=f(xo+ ∆ x)-f(xo) приращение функции.

Производной функции в точке xo называется предел отношения

если он существует.

Производная

функции в точке

Дифференцируемая

функция

Если функция имеет конечную производную

в точке, то функция называется

дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется

дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический

смысл производной

Проведём секущую С5

к графику функции f(x). Пусть угол между секущей

и осью Ох, тогда tg =∆y/∆x.

Если ∆x 0, то секущая превращается в касательную к

графику в точке с координатами (xo, f(xo)).

Пусть угол между касательной и