Вычисление частных
производных
lim |
xz |
|
|
lim |
yz |
|
Δx |
|
|
||||
|
Δy |
|||||
Δx 0 |
|
Δy 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1.При вычислении частной производной по x считаем, что переменная y является константой.
2.При вычислении частной производной по y считаем, что переменная x является константой.
3.В результате требуется вычислять производную только по одной из переменных.
4.Все правила вычисления производной для функции одной переменной сохраняются.
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
21 |
|
|
переменных» |
|
Пример
Вычислить частные производные функций:
а) z=x ln y + y/x; б) z= xy
Решение. Задание а) z=x ln y + y/x
Для вычисления частной производной по x, считаем y постоянной величиной,
тогда zx'=(x ln y + y/x) x'=ln y y/x2.
Дифференцируя по y, считаем x постоянной величиной, тогда zy'=(x ln y + y/x) y'=x/y+1/x.
Задание б) z= xy zx'=(xy) x'= y∙xy-1
zy'=(xy) y'=xy∙lnx
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
22 |
|
|
переменных» |
|
Теорема о дифференциале
Если частные производные функции f(x,y) существуют в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) и непрерывны в этой точке, то функция f(x,y)
дифференцируема в этой точке.
В этом случае
df =f x' x+f y' y
Замечание. Если функция дифференцируема в данной точке, то её полное приращение можно
представить в виде:
f =f x' x+f y' y+о( x, y)
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
23 |
|
|
переменных» |
|
Вопрос на засыпку
Найти дифференциал функции z=x2+xy двумя способами.
Решение.
1. Ранее дифференциал этой функции в точке (x0,y0)
был найден методом выделения линейной части приращения: dz=(2x0+y0) x + x0 y .
В произвольной точке (x, y) dz=(2x+y) x + x y.
2. zx'= 2x+y; zy'=x, в соответствии с теоремой о
дифференциале dz=(2x+y) x + x y.
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
24 |
|
|
переменных» |
|
Основное в лекции 
Функция нескольких переменных
График функции двух переменных
Полное и частные приращения
Частные производные
Дифференциал
И.Р.Тимошина «Функции некскольких |
25 |
|
|
переменных» |
|