Вопрос на засыпку

Построить график функции z=x2+y2-2y

и линии уровня этой

функции.

Решение.

1. Так как x2+y2-2y= x2+y2-2y+1-1=x2+(y-1) 2 -1, то графиком функции z=x2+(y-1) 2 -1 является параболоид вращения с

вершиной в точке (0, 1, -1).

z

Вопрос на засыпку

2. Линия уровня – это кривая на плоскости, задаваемая

уравнением: x2+(y-1)2 -1=C,

C – константа.

Это уравнение окружности с центром в точке (0, 1).

При различных значениях C - это концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом величины C.

И.Р.Тимошина «Функции некскольких переменных»

Напоминалка

Пусть y=f(x) – функция одной переменной.

Приращением этой функции в точке x0 называется число y=f(x)-f(x0).

Функция называется дифференцируемой, если её

приращение можно представить в виде

y=A x + o( x)

В этом случае число A=f '(x0), т.е.

y=f '(x0) x + o( x).

Дифференциалом функции называется линейная часть её приращения: dy=f '(x0) x.

Приращения функции двух переменных

Пусть

P0(x0,y0) и R0 (x0+ x,y0+ y) - некоторые точки в области определения функции z=f(x,y).

Напомним, что

x=x x0, y=y y0 приращения независимых переменных.

Приращения функции

двух переменных

Частным приращением по переменной x назывантся

число

zx=f (x,y0) -f (x0,y0).

Частным приращением по переменной y назывантся

число

zy=f (x0,y) -f (x0,y0).

zx=SS2 zy=QQ2

Дифференциал функции

Пустьдвухполноепеременныхприраще ие функции z=f(x,y) в точке (x0,y0)

можно представить в виде:

z=A x+B y+o( x, y),

где A и B некоторые числа.

Такая функция называется

дифференцируемой

в точке (x0,y0).

dz=RR2

Дифференциал функции

Дифференциаломдвух переменныхфу кции

вух перем нных называется

линейная часть приращения:

dz=A x+B y

dz=R1R2

1.xz=2(x0+ x)+3y0 - 2x0 - 3y0=2 x

2.yz=2x0+3 (y0 + y) - 2x0 - 3y0= 3 y.

3.z =2 (x0+ x)+3 (y0 + y) - 2x0 - 3y0= 2 x+3 y

4.dz= 2 x+3 y

Вопрос на засыпку

Задание б) z=x2+xy

1.xz=(x0+ x)2+(x0+ x) y0-x02-x0y0=2x0 x+y0 x+( x) 2.

2.yz=x02+x0 (y0 + y)-x02-x0y0=x0 y.

3.z =(x0+ x)2+(x0+ x)(y0 + y) -x02-x0y0=

=2x0 x+( x)2 + xy0+x0 y+ x y= (2x0+y0) x + x0 y+ + ( x)2 + x y.

4. dz=(2x0+y0) x + x0 y

Если эти пределы существуют и конечны, то их

называют частными производными по x и по y