Бесконечно малые и бесконечно
большие функции
Функция α(x) называется бесконечно |
|
||
малой при x xo, если x x0 |
|
. |
|
lim α(x) 0 |
|
|
|
Функция β(x) называется бесконечно |
|
||
lim |
β(x) |
. |
|
большой при x xo, если x x0 |
|
|
|
Обозначим б.м.ф. – бесконечно малые и б.б.ф. – бесконечно большие функции.
© И.Р.Тимошина |
21 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Примеры
Например, функция f(x)=x/(x 2)
является бесконечно малой функцией при x 0,
и бесконечно большой функцией при x 2.
© И.Р.Тимошина |
22 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Теорема (о связи между б.м.ф. и б.б.ф.) 
1. Если |
К примеру, |
α(x)→0 при x→xo, то |
α(x)=(x 2)2 →0 при x→2, |
β(x)=1/α(x)→∞ при |
β(x)=1/(x 2)2 →∞ при x→2. |
x→xo. |
|
|
2.Если
β(x) → ∞ при x→xo, то α(x)=1/β(x) →0 при x→xo
© И.Р.Тимошина |
23 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Сравнение бесконечно малых величин
Пусть α1(x) и α2(x) - бесконечно малые при x→xo, тогда если
Если предел не существует, то α1(x) и α2(x) являются несравнимыми величинами.
© И.Р.Тимошина |
24 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Пример
Найти предел числовой |
lim |
|
|
|
|
x2 mx n |
x2 nx m |
||||
функции |
x |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
© И.Р.Тимошина |
25 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Пример
Найти предел числовой |
lim mnx 2 m 2 |
n 2 x mn |
||||
функции |
|
|
|
|
|
|
x n m |
2mx |
|
mx n |
|||
Решение. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
© И.Р.Тимошина |
26 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Пример
|
Найти предел числовой |
lim |
cos mx cos m n x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
1 cos nx |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx m n x |
|
mx |
m n x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
cos mx |
cos m n x |
|
|
0 |
|
|
|
2sin |
|
2 |
|
|
|
sin |
|
2 |
|
|
|||||||
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 cos nx |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
nx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
2mx nx |
nx |
|
|
2mx nx |
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
sin |
|
2 |
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
sin |
|
|
|
2m n |
|
|
||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
2 nx |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
© И.Р.Тимошина |
27 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Пример
Найти предел числовой |
mx |
n |
m n x |
функции |
|
||
lim |
|
|
|
Решение. |
x mx n |
|
|
© И.Р.Тимошина |
28 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|