Число е
Определение. Числом е называется предел числовой последовательности
e lim |
|
1 |
n |
|
1 |
|
|
||
n |
||||
n |
|
|||
e иррациональное число!
e = 2,7 1828 1828 459045 235360 287471352...
© И.Р.Тимошина |
11 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Число е
К числу e приводят решения многих прикладных задач:
исследования процессов роста народонаселения; радиоактивного распада;
темпов инфляции; задача о непрерывном
начислении процентов
ит.д.
© И.Р.Тимошина |
12 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Предел функции
Пусть y=f(x) - числовая функция, заданная на множестве X R.
Точка xo называется предельной точкой множества X, если любая δ-окрестность точки xo содержит точку множества X, не равную xo.
Отметим, что сама точка xo может не принадлежать множеству X.
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
- δ |
o |
|
x + δ |
|
|
o |
|
||||||
|
|
|
|
|
o |
||
© И.Р.Тимошина |
13 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Предел функции
Число A называется
пределом функции в
точке xo, если для любой последовательности xn такой, что xn xo выполняется условие: f(xn
A
Обозначения:
lim f(x) A или f(x) A при x xo
x x0
© И.Р.Тимошина |
14 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Односторонние пределы
1.Предел слева, если при стремлении x к xo
переменная x принимает значения, меньшие xo.
Обозначение: lim f(x) A
x x0 0
2. Предел справа, если при стремлении x к xo
переменная x принимает
значения, большие xo. Обозначение: lim f(x) В
x x0 0
© И.Р.Тимошина |
15 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Свойства пределов
Пусть f(x) и g(x) - функции, для существуют пределы:
lim f(x)=A и lim g(x)=B |
|
x xo |
x xo |
тогда
а) lim( f (x) g(x)) A B |
|
|
x x0 |
б) |
lim( f (x) g(x)) A B |
x x0 |
|
которых
г) lim f ( g(x)) A
x x0
если limx x g(x) u0
0
в) |
lim |
f (x) |
|
A |
g(x) 0 |
B 0 |
и |
lim f (u) A |
|
u u0 |
|||||||||
g(x) |
B |
||||||||
x x0 |
|
|
|
|
|
© И.Р.Тимошина |
16 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Примеры
Найти пределы числовых функций:
1.lim f(x)=x2.
x 2
2.lim f(x)=(x 3)2/(x 2).
x 0
3.lim f(x)=(x 3)2/(x 2).
x 2
Решение.
1.lim x2=4.
x 2
2.lim (x 3)2/(x 2)=9.
x 0
3.lim f(x)=(x 3)2/(x 2)=∞.
x 2
© И.Р.Тимошина |
17 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Примеры
Найти предел числовой функции
x2 2x 1 lim 2
x 1 x 3x 2
Решение. |
|
|
|
|
|
||||
|
x2 2x 1 |
|
|
0 |
|
|
|||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 1 x |
2 3x 2 |
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
||||||
lim |
|
(x 1)2 |
|
|
|
||||
|
(x 1)(x |
2) |
|
||||||
x 1 |
|
|
|
|
|||||
lim |
|
(x 1) |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
x 1 |
|
(x 2) |
|
|
|
|
|
||
© И.Р.Тимошина |
18 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Вопрос на засыпку
Найти предел числовой функции
lim |
|
2x 3 |
|
|
12 x |
|
|
x3 |
27 |
|
|||
x 3 |
|
|||||
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Решение.
lim |
|
2x 3 |
|
12 x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
27 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||
lim |
2x 3 |
|
12 x |
2x 3 |
12 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x 3)(x2 |
3x 9)( |
2x 3 |
|
12 x ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x 3) |
(12 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x 3)(x2 |
3x 9)( |
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
12 x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x 3)(x2 |
3x 9)( |
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
12 x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x 3)(x2 |
3x 9)( |
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
12 x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 3 |
12 |
3 ) |
54 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x 3 (9 9 9)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечательные пределы
Теорема 1 (первый замечательный
предел). |
|
|
|
x |
|
|
lim |
sin(x) |
1 |
или |
lim |
1 |
|
x |
|
|||||
|
||||||
x 0 |
|
x 0 sin(x) |
|
|||
Теорема 2 (второй замечательный предел).
|
1 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
lim 1 y |
|
e |
|||
|
|
y |
|||||
lim 1 |
x |
|
e |
или |
y 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
© И.Р.Тимошина |
20 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|