Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Замечание. При применении признаков сравнения используют эталонные ряды, которые по своей структуре проще исследуемых.
В качестве эталонных используют бесконечно убывающие геометрические прогрессии или обобщённые гармонические ряды n1 , которые сходятся при 1 и расходятсяn 1 при
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Эталонные ряды
Геометрическая прогрессия
|
2 |
|
n 1 cходится, если q<1; |
|
b bq bq |
... bq |
|||
|
расходится, если q≥1 |
|||
|
|
n 1 |
|
Обобщённый гармонический ряд
|
1 |
|
|
|
|
cходится, если α>1; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
расходится, если α≤1 |
||||||
n |
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Интегральный признак
Пусть действительная неотрицательная и непрерывная на промежутке [1, ∞) функция монотонно убывает на этом f (x)промежутке. Тогда, если интеграл
сходится, то сходится и ряд |
|
1 |
, |
|
|||
f (n) |
|
n 1 |
а если интеграл расходится, то расходится |
и ряд . |
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды» |
Пример. Исследовать сходимость ряда
1
n 1 n
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
|
|
||
Пример. Исследовать на сходимость ряд n 1 |
1 |
|
|
ln n |
|||
Решение. В качестве эталонного ряда |
|||
используем гармонический ряд |
|
||
1 |
|||
|
n 1 n |
||
Применим первый признак сравнения.
Так как для любого натурального n 2 верно |
|||||||||
неравенство |
1 |
|
1 |
, то исследуемый ряд |
|||||
ln n |
n |
||||||||
расходится. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Исследовать на сходимость ряд n 1 |
1 |
|
|||||||||
4n (n |
1) |
||||||||||
Решение. |
В качестве эталонного, используем |
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
ряд |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4n |
|
|
|
|
|||||||
Так как при n 0 выполняется неравенство |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
, то исследуемый ряд сходится. |
|
|
|||
|
4n (n |
1) |
4n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Признак Даламбера. Пусть для ряда an
|
|
|
n 1 |
существует конечный предел n an |
|
. |
|
lim |
an 1 |
r |
|
|
|
||
Тогда, если r<1, то ряд сходится, а если r >1, то ряд расходится. Для случая r=1
признак Даламбера не даёт возможности судить о сходимости ряда.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Исследовать сходимость ряда n 1 |
1 |
|
|||||||||||
n! |
|||||||||||||
Решение. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim an 1 |
lim |
|
(n 1)! |
|
lim |
1 |
|
0 |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
n 1 |
|||||||
n an |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n
Ответ. Ряд сходится.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Радикальный признак Коши
Пусть для ряда an существует конечный предел lim n an n 1r .
n
Тогда, если r<1, то ряд сходится, а если r>1, то ряд расходится. Для случая r=1 радикальный признак Коши не даёт возможности судить о сходимости ряда.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
n n
Пример. Исследовать сходимость ряда n 1 2n 1
Решение. Вычислим
|
|
n |
n |
|
1 |
||
lim n |
|
|
|
|
|
||
2n 1 |
2 |
||||||
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. Ряд сходится.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»