Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Заметим, что |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
n(n 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
1 |
|
|
1 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
n n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
... |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
lim Sn 1
n
Ответ. Сумма ряда S=1. Ряд сходится.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Замечание.
Исследовать сходимость ряда на основе вычисления частичной суммы Sn и предела
limn Sn
возможно далеко не всегда. Проще это можно сделать на основе признаков сходимости.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Свойства сходящихся рядов
|
|
|
|
|
1. Если ряд |
|
|
|
|
|
an |
сходится и его сумма |
||
|
n 1 |
|
Can |
и его |
равна S, то сходится ряд n 1 |
||||
сумма равна С·S, где С - любое число. Следствие. Общий множитель сходящегося ряда можно как выносить за знак суммы, так и вносить.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Свойства сходящихся рядов
|
|
|
и |
|
bn |
2. Если сходятся два ряда an |
|||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
и их суммы равны соответственно S и T, |
|||||
то сходится ряд |
|
|
|
|
|
|
bn ) |
|
|
|
|
|
(an |
|
|
|
|
n1
иего сумма равна S + T.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Свойства сходящихся рядов
3. Если ряд |
an |
|
|
сходится, тоn 1сходится и любой ряд, |
|
полученный группировкой (без |
|
перестановки) его членов. |
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Признаки сходимости числовых рядов
Теорема (необходимый признак |
|
сходимости). Если ряд |
an сходится, то |
выполняется условие: |
n 1 |
|
|
lim an |
0 |
n |
|
Это условие является необходимым признаком сходимости числового ряда.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
|
|
|
|
|
|
n |
||||
Пример. Исследовать на сходимость ряд n 1 |
||||||||||
|
|
|
||||||||
3n 1 |
||||||||||
Решение. Общий член ряда имеет вид:an |
|
|
n |
|
||||||
3n 1 |
||||||||||
Вычислим |
|
n |
|
1 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
liman |
lim |
|
|
|
|
|
||||
3n 1 |
|
|
|
|
|
|||||
n |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|||
Ответ. Ряд расходится.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Признак сравнения №1. Пусть имеются два |
|
ряда с положительными членами: |
|
|
|
an (1) |
bn (2) |
n 1 |
n 1 |
и, начиная с некоторого номера, выполняются |
|
условия: |
an bn |
Тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1), ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Признак сравнения №2. Пусть существует предел: lim an K 0 K
n bn
Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Если К=0, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»