Основные определения и понятия
Рассмотрим числовую последовательность a1, a2 ,…, an,…
Числовым рядом называют формальную
сумму: a1 a2 ... an ...
или в сокращённой записи
Слагаемое последовательности an называют общим членом ряда.
an
n 1
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Основные определения и понятия
Сумму n первых слагаемых числового ряда
называют n-ой частичной суммой:
Sn a1 a2 ... an
Сумму всех членов ряда, начиная с n+1 члена ряда, называют остатком ряда.
rn an 1 an 2 ...
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Способы задания числового ряда
Приведём некоторые способы задания.
1.Аналитическое задание общего члена. К примеру, an n12 .
2.Рекурсивное задание, к примеру,
a1 1; an 2 an 1
3.Задание ряда в виде какого-либо правила, к примеру, все члены ряда равны единице.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример 2. Найти выражение для общего члена
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда: |
2 |
|
4 |
|
|
6 |
|
... |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5 |
9 |
13 |
2n |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Общий член ряда: an |
||||||||||||
4n 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример 3. Вычислить четыре частичные суммы ряда:
1+1/2+1/4+…+(1/2)n+…
Решение.
S1=1; S2=1.5; S3=1.75; S4=1.875
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Основные определения и понятия
Составим новую числовую последовательность, членами которой являются частичные суммы: S1, S2,…, Sn,…
Числовой ряд называется сходящимся,
если существует конечный предел частичных сумм lim Sn S
n
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Основные определения и понятия
Если ряд сходящийся, то число S называют суммой ряда.
Если предел не существует или является бесконечным, то ряд называют расходящимся.
Сходимость ряда эквивалентна условию:
limn rn 0
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример 3. Исследовать сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии:
b bq bq 2 ... bq n ...
Решение. Из школьного курса алгебры известно,
что частичная сумма |
Sn |
b(1 |
|
q |
n |
) |
|||
если q≠1 |
|
1 |
|
q |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Рассмотрим случаи:
1) если |
|
q |
|
|
1 , то lim q n |
0 lim Sn |
|
b |
|
|||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
1 q |
|||
ряд сходится; |
|
|
||||||||||||
2) если |
q |
1, то lim qn |
lim Sn |
|
||||||||||
ряд расходится; |
n |
|
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) если q=1, то ряд примет вид: b |
b b ... |
|||||||||||||
ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Замечание
Ряд, полученный в апории Зенона, является геометрической прогрессией, у которой b=t; q= 1/2 . В соответствии с формулой, частичная сумма этого ряда равна:
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
Переходя к пределу |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Sn |
|
|
|
|
|
|
2t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn |
|
|
2t |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»