Числовые ряды
Лекции по математике
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Рекомендуемая литература
Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.
Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций. ВФ СПбГУСЭ, 2008.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Содержание
Введение в теорию числовых рядов
Основные определения и понятия
Свойства сходящихся рядов
Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Введение в теорию числовых рядов
Числовым рядом называют формальную сумму бесконечного числа слагаемых (чисел). К примеру: 1+1/2+1/3+…+1/n+…
Непонимание природы бесконечных величин приводило к различным курьёзам. Приведём несколько таких примеров.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Введение в теорию числовых рядов
В античном мире принято было считать, что если суммировать бесконечное число положительных величин, то результат обязательно будет бесконечным. На этом заблуждении Зенон основывал свои апории (парадоксальные суждения), доказывая, что движения нет.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Введение в теорию числовых рядов
Пример 1. Рассмотрим одну из апорий Зенона. Если движение есть, то стрела
никогда не достигнет своей цели.
Доказательство Зенона.
цель
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пусть за время t стрела пролетит половину пути. Тогда из опыта известно, что весь путь она пролетит за время 2t и достигнет цели.
Однако, предположим, что движение есть. Тогда половину оставшегося пути стрела пролетит за время t/2, следующую половину за время t/4 и т.д. до бесконечности. Время, за которое стрела достигнет цели будет равно бесконечной сумме положительных слагаемых: t+ t/2+ t/4+…, а такая сумма, по мнению Зенона, равна бесконечности, т.е. вопреки опыту, предположение о том, что движение есть, привело нас к абсурду. Значит, движения нет.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Введение в теорию числовых рядов
Замечание. Обратим внимание, что члены ряда t+ t/2+ t/4+…, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. В дальнейшем мы докажем, что такая сумма конечна и равна 2 t, что соответствует опыту. Однако это ещё не доказывает факт, что движение есть.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример 2. Долгое время непреодолимые трудности стояли на пути решения проблемы, чему равна сумма ряда 1 – 1 + 1 – 1 …. . Если провести группировку членов ряда следующего вида: (1 – 1) + (1 – 1) + …. , то получим ряд 0 + 0 + 0 +… , сумма которого, несомненно, равна нулю.
Если группировку членов ряда провести немного иначе: 1 – (1 – 1) - (1 – 1) -… , то сумма такого ряда равна единице.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
А если вообще переставить члены ряда и перегруппировать вот таким способом:
1 + 1 – (1 - 1) – (1 - 1) - … , то сумма ряда будет равна двум.
Отметим, что, переставляя и перегруппировывая члены ряда, мы можем получить в сумме любое целое число. А ведь с конечной суммой таких фокусов в принципе быть не может. В общем, бесконечность это дело тонкое.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»