Степенные ряды
Замечания.
1. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что степенной ряд сходится, если x R и расходится, если x R Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (-R, R) - интервалом сходимости.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Степенные ряды
2.Степенной ряд общего вида сходится в интервале (с-R, с+R) и расходится вне этого интервала.
3.На концах интервала сходимость исследуется отдельно.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Степенные ряды
4.Для отыскания радиуса сходимости используют следующие формулы, вытекающие из признаков Даламбера и Коши:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R lim |
an |
|
|
R |
1 |
|
|
|
|
|
|
lim n |
|
|
|
|
|||
an 1 |
|
a |
|
|
|
||||
n |
|
|
n |
||||||
|
|
|
n |
|
|||||
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример. Исследовать на сходимость ряд
1 x 22 x 2 ... n n x n ...
Решение. Найдём радиус сходимости по
формуле R lim |
|
a |
n |
|
lim |
|
n n x n |
|
0 |
для x 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
an 1 |
|
|
(n 1)n 1 x n 1 |
|
|||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|||
Если x=0, то ряд сходится.
Ответ. R=0.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Пример. Исследовать на сходимость ряд n 1 n |
|
||||||||||||||||
Решение. |
R lim |
|
an |
|
lim |
|
n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
an 1 |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследуем сходимость ряда на концах |
|
|
|
|
|||||||||||||
промежутка x ( 1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если x=1, то получим гармонический ряд, |
|
|
|
|
|||||||||||||
который расходится. Если x=-1, то получим |
|
|
|
|
|||||||||||||
условно сходящийся знакопеременный ряд. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ. Область сходимости ряда 1,1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Теорема (о дифференцировании и интегрировании степенных рядов )
Пусть радиус сходимости степенного ряда |
|
an (x c)n |
равен R . |
n 1
Почленно дифференцируя и интегрируя этот ряд, получим соответственно ряды
|
|
|
n 1 |
|
|
an (x c)n 1 |
|
|
nan |
(x c) |
|
и |
|
|
, |
|
n 1 |
||||||
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
|
радиусы сходимостиn 1 которых тоже равны
R.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Следствие
Степенной ряд общего вида можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз в любом замкнутом промежутке, содержащемся внутри интервала сходимости
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример. Указать вид рядов, полученных дифференцированием и интегрированием
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
степенного ряда |
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
и радиусы сходимости этих рядов. |
|
|
|
|
||||||
Решение. Дифференцируя и интегрируя ряд |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
n 1 |
||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
получим соответственно ряды x n 1 и |
|
. |
||||||||
n(n 1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
Радиусы сходимости этих рядов равны единице.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»