Пример. Число π можно представить в виде |
|
|||||||||||||||
|
знакопеременного ряда: 4 1 |
1 1 |
1 ... |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сколько слагаемых ряда нужно взять, чтобы |
|
|||||||||||||||
вычислить π с точностью до 0,01. |
|
|
|
|||||||||||||
Решение. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
an |
|
|
Решим неравенство: |
|
||||||||||||
2n 1 |
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
1 |
|
2n 1 100 |
2n 1 400 |
n 399 |
|||||||||
2n 1 |
|
|||||||||||||||
100 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Функциональные ряды
Функциональным называется ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной, определённые на одном и том же множестве:
u1 (x) u2 (x) ... un (x) ... un (x)
n 1
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Примеры функциональных рядов
1+x+x2+ … +xn +…
sin x+ sin 2x+…+ sin nx+ …
ex+e2x+e3x+…+enx+…
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Функциональные ряды
Функциональный ряд называется
сходящимся при x=xo, если сходится
числовой ряд un (x0 )
n1
Областью сходимости функционального ряда называется множество X всех значений x, для которых ряд сходится.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Функциональные ряды
Если X - область сходимости функционального ряда, то сумма ряда является числовой функцией, определённой на этом множестве.
Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве X, если для любых x
из этого множества сходится ряд un (x0 )
n 1
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример
Функциональный ряд 1+x+x2+ … +xn +… превращается при x=1/2 в числовой ряд: 1+(1/2)+(1/2)2+ … +(1/2)n +… . Это геометрическая прогрессия, делитель которой q=1/2. Ряд сходится.
Если x=2, то ряд примет вид: 1+(2)+(2)2+ … +(2)n +… . Это геометрическая прогрессия, делитель которой q=2. Ряд
расходится.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Степенные ряды
Степенным рядом общего вида
называется ряд вида |
|
|
|
|
|
(x |
c)n |
|
an |
||
|
n 1 |
|
|
где an - общий член числовой последовательности, c - любое число.
|
|
|
|
|
|
Если с=0, то получим ряд |
|
an x n |
|||
|
|||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Примеры
Функциональный ряд 1+x+x2+ … +xn +… является степенным, для которого с=0.
Функциональный ряд 1+(x-3)+(x-3)2+ … + (x-3)n +… является степенным, для которого с=3.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Степенные ряды
Теорема Абеля (о сходимости ряда)
Если степенной ряд an x n сходится при x=xo,
n 1
то он сходится при всех x x0 .
Если этот ряд расходится при x=xo, то он расходится при всех x x0
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»
Пример
Из теоремы Абеля следует, сто если степенной ряд 1+x+x2+ … +xn +… сходится при x=1/2, то он сходится также для любых x, удовлетворяющих условию |x|≤1/2.
Если этот же ряд расходится при x=2, то он расходится также при всех |x|≥2.
Лекции И.Р.Тимошиной «Числовые и функциональные ряды»