Пример

Найти Найти точки экстремума функции z=x2+2y2 при условии 3x+2y=11, используя метод множителей Лагранжа.

Решение. Составим функцию Лагранжа:

L x2 2y2 λ 3x 2y 11

Вычислим частные производные этой функции и

Единственное решение этой системы: x=3; y=1; λ= 2.

Точкой условного экстремума может быть только точка (3; 1).

Заметим, что условия Лагранжа являются только необходимыми, но не достаточными.

Однако, если из дополнительных условий известно, что такая точка единственная, то она и является искомой точкой экстремума.

Покажем, что в оптимальной точке градиент целевой функции, проведённый к линии уровня и градиент функции ограничения, параллельны.

Это означает, что в оптимальной точке линия уровня касается ограничения.

Пример

Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс. руб. Известно, что если на приобретение нового оборудования затратить x тыс. руб. , а на зарплату вновь принятых работников y тыс. руб., то прирост объёма продукции составит Q=0,001x0,6y0,4тыс. руб. Как следует распределить денежные ресурсы, чтобы прирост объёма продукции был максимальным?

Математическая модель задачи

0,001x0,6y0,4→max

x+y=150 Это задача на поиск условного экстремума

Решение

1.Составим функцию Лагранжа: L(x,y,λ)=x0,6y0,4+λ (x+y 150)

2.Необходимые условия экстремума:

L'x (x,y,λ)=0,0006x-0,4y0,4+λ L'y (x,y,λ)=0,0006x0,6y-0,6+λ L'λ (x,y,λ)=x+y 150

3.Решим систему: 0,0006x-0,4y0,4= λ

0,0006x0,6y-0,6= λ x+y=150

Ответ: x=90; y=60.

Задача о наилучшем

использовании ресурсов

При производстве изделий U1, U2 затрачиваются ресурсы R1, R2, R 3, имеющиеся в количествах:

b1=15; b2=21; b3=2.

Задача о наилучшем

использовании ресурсов

Технология производства задаётся матрицей удельных затрат:

ресурса Ri на производство единицы изделия Uj.

Задача о наилучшем

использовании ресурсов

Доходы от реализации единицы изделия равны: с1=5; с2=4.

Требуется найти оптимальный план выпуска, дающий наибольший доход.

Под планом выпуска будем понимать

количества выпускаемых изделий первого и второго вида x =(x1; x2).

Математическая модель задачи

Составим целевую функцию f(x)= с1x1+ с2x2 =5x1+ 4x2,

задающую доход от реализации плана x.

Расходы первого, второго и третьего ресурсов на выпуск плана x =(x1; x2) примут вид:

R1: 3x1+5x2 R2: 7x1+3x2

R3: x2

Так как эти ресурсы имеются в определённом количестве, то при составлении плана мы не можем израсходовать больше того, что имеется:

3x1+5x2≤15

7x1+3x2≤21 x2≤2

Задача оптимизации примет вид: f(x)=5x1+ 4x2→max

3x1+5x2≤15

7x1+3x2≤21 x2≤2 x1≥0, x2≥0.

Заметим, что данная задача является задачей

линейного программирования.