- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики
- •Математика
- •Оглавление
- •ВВеДение
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •1. Линейная алгебра
- •4. Интегральное исчисление
- •8. Дифференциальные уравнения
- •9. Ряды
- •10. Функции комплексного переменного
- •11. Операционное исчисление
- •12. Теория вероятностей
- •13. Элементы математической статистики
- •14. Линейное программирование
- •15. Математические методы в экономике
- •16. Дискретная математика
- •Краткое содержание (программа) курса
- •1. Линейная алгебра.
- •2. Аналитичеcкая геометрия.
- •3. Дифференциальное исчисление.
- •4. Интегральное исчисление.
- •5. Функции нескольких переменных.
- •6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы.
- •7. Элементы теории поля.
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы.
- •9. Ряды.
- •10. Функции комплексного переменного.
- •11. Операционное исчисление.
- •12. Теория вероятностей.
- •13. Математическая статистика.
- •14. Линейное программирование.
- •15. Математические методы в экономике.
- •16. Дискретная математика.
- •Список учебной литературы
- •Математика
- •191015, Г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7
4. Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл.
Найти интегралы:
а) ; б); д).
Несобственные интегралы.
Вычислить интеграл или установить его расходимость:
Применения определенных интегралов.
Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
;
Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:
.
5. Функции нескольких переменных
Частные производные и дифференциал функции.
Найти частные производные ,,функции .
Показать, что функция удовлетворяет уравнению.
Приложения частных производных.
Для функции в точкенайти градиент и производную по направлению.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4x2 + y2 – 4mx – 2ny + m2 + n2 в области заданной неравенствами:
x ≥ 0; nx – my 0; x+ y – m – n 0
6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
Двойные интегралы.
Изменить порядок интегрирования:
.
Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точкии.
Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) .
3.9. Тройные интегралы.
Найти , если телоV ограниченно плоскостями и.
Найти объем тела, ограниченного поверхностями .
Криволинейные интегралы.
Вычислить , где,, а контурС образован линиями ,: а) непосредственно; б) по формуле Грина.
Вычислить , где контурС является одним витком винтовой линии:
.
7. Элементы теории поля
Дифференциальные операции.
В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой
.
Найти в точке градиент скалярного поля
.
Найти в точке дивергенцию векторного поля
.
Найти в точке ротор векторного поля
.
Интегралы и интегральные теоремы.
Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.
Даны поле и цилиндрD, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x2+y2=(n+1)2. Найти:
а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;
б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.
Даны поле и замкнутый виток, (обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контураγ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.
8. Дифференциальные уравнения
Уравнения первого порядка.
Найти общее решение уравнения:
а) ; в).
Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляламиллионов рублей.
Линейные уравнения высших порядков.
Решить задачу Коши:
а)
б)
Системы линейных уравнений.
Решить систему линейных уравнений
с начальными условиями .