10. Функции комплексного переменного

1. Действия с комплексными числами.

   1. Выполнить действия:

а) ; б).

2. Решить уравнения:

а) ; б).

2. Аналитические функции.

   1. Показать, что функция аналитична.

   2. Известна вещественная часть u(x,y)=m(x²-y²)+mx-ny аналитической функции f(z), (z=x+iy). Найти функцию f(z).

3. Интегрирование функций комплексного переменного.

   1. Вычислить , где контурС – незамкнутая ломанная, соединяющая точки ,и.

   2. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши

.

1. Ряды Тейлора и Лорана.

   1. Разложить функцию в окрестности точкив ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.

   2. Разложить функцию в окрестности точкив ряд Лорана.

   3. Разложить функцию в ряд Лорана по степенями найти область сходимости ряда.

2. Вычеты и их приложения.

   1. Определить тип особых точек функции и найти вычеты в конечных особых точках.

   2. Вычислить с помощью вычетов , где контурC, заданный уравнением , обходится против часовой стрелки.

11. Операционное исчисление

1. Нахождение изображений и восстановление оригиналов.

   1. Найти изображения функций:

а) ; б).

2. Восстановить оригиналы по изображениям:

а) ; б).

2. Приложения операционного исчисления.

   1. Решить операционным методом дифференциальное уравнение:

а) ;

б) .

12. Теория вероятностей

1. Случайные события.

   1. В коробке находятся m+2 синих, n+3 красных и 2n+1 зеленых карандашей. Одновременно вынимают m+3n+2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет m+1 синих и n+1 красных.

   2. В первой урне находятся m+2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй — m+n белого и m синего, в третьей — n+3 белого и m+1 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

   3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производитсяn+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

   4. Каждый избиратель независимо от остальных избирателей, отдаёт свой голос за кандидата А с вероятностью 0,1(m+n) и за кандидата В – с вероятностью 1-0,1(m+n). Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5000 избирателей) один из кандидатов опередит другого: а) ровно на 1900 голосов б) не менее, чем на 1900 голосов

2. Случайные величины.

   1. Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из n+3 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).

   2. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

xi	-2	-1	0	m	m+n
pi	0,2	0,1	0,2	p4	p5

Найти вероятности p₄, p₅, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.

3. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найти:

а) параметр а; б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины X в интервал

;

г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

Построить график функций и.

4. Случайные величины имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожиданияMξ_i=m+n, а дисперсия Dξ₁=n²/3. Найти вероятности: а) ; б); в).