Математика 2 семестр / Математика 2 семестр / Алгебра пределов

1

2.4. Алгебра пределов.

Речь пойдет о вычислении предела алгебраической операции над последовательностями, если известны пределы последовательностей. В случае сходящихся последовательностей (имеющих конечный предел) не имеется никаких проблем за исключение одного случая.

Результат умножения последовательности на число, сумма, разность и произведение сходящихся последовательностей оказываются сходящимися последовательностями, равно как и отношение последовательностей, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.

При этом предел произведения последовательности на число, предел суммы, разности, произведения и отношения последовательностей равен произведению предела последовательности на число, сумме, разности, произведению и отношению пределов последовательностей.

lim 7ak 4bk lim 2ak bk

lim(ak )3

Некоторого внимания требует предел отношения в случае, когда знаменатель стремится к нулю, а предел числителя отличен от нуля. Условно эту ситуацию обозначают отношением

1

. В этом обозначении квадратные (или фигурные) скобки используются для того, чтобы не

0

путать отношение чисел (на ноль делить нельзя) с пределом отношения последовательностей. За этим обозначением скрывается отношение двух последовательностей, при этом знаменатель стремится к нулю, а числитель стремится к единице (важно, что числитель не стремится к нулю). При неограниченном приближении знаменателя к нулю модуль такой дроби будет неограниченно воз-

случае, когда отношение сохраняет знак, начиная с некоторого номера, в качестве ответа можно получить или .

Единственным исключением для сходящихся последовательностей является предел отношения в случае, когда и числитель, и знаменатель стремятся к нулю, то есть предел отношения

0

двух бесконечно малых последовательностей. Эту ситуацию условно обозначают символом

0

2

и называют неопределенностью типа "ноль (делить) на ноль". Термин "неопределенность" означает, что, в зависимости от последовательностей, предел отношения двух бесконечно малых может быть любым числом, бесконечностью или вообще не существовать. Например, отношение

Среди членов бесконечно малой последовательности могут встречаться нули в произвольном количестве. Чтобы не создавать лишних проблем, будем считать, что бесконечно малая, стоящая в знаменателе, не имеет нулевых членов.

Члены бесконечно малой последовательности стремятся к нулю. Вполне естественно говорить о скорости, с которой происходит приближение членов к предельному значению. Скажем,

последовательности равен одной миллионной, а второй ‒ одной сотой.

Может случиться, что предел отношения двух бесконечно малых равен нулю:

знаменателя. Математики говорят, что в этом случае бесконечно малая ak имеет более высокий

порядок малости, чем бесконечно малая bk . Более высокий порядок малости соответствует более

Числитель стремится к нулю медленнее знаменателя. Соответственно, порядок малости знаменателя выше порядка малости числителя: {bk } {ak } или {ak } {bk }.

Если предел отношения двух бесконечно малых оказывается равным ненулевому числу, то говорят, что это бесконечно малые одного порядка малости. Такие бесконечно малые стремятся к нулю с одинаковой скоростью. Условно этот факт можно записать формулой

4

Вторая неопределенность возникает при вычислении предела отношения, в котором и

числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности. Она условно обозначается и назы-

вается "бесконечность (делить) на бесконечность". У бесконечно больших последовательностей начиная с некоторого номера все члены отличны от нуля, и проблемы с делением не возникает.

Аналогично сравнению бесконечно малых рассматривается сравнение бесконечно боль-

ста, чем {ak }. Скорость роста модуля членов последовательности в числителе выше скорости

большие называются эквивалентными.

Внекоторых случаях в качестве эталона для сравнения выбирают последовательность степеней {k }, где 0 . Тогда показатель определяет порядок роста членов бесконечно

большой последовательности.

Вкачестве полезного упражнения покажем, что бесконечно большая последовательность,

членами которой является многочлен степени m относительно натуральной переменной k , эквивалентна последовательности, образованной старшим членом этого многочлена. Пусть последовательности ak mk m m 1k m 1 m 2k m 2 ... 1k 0 , где m 0 , и bk mk m . Вычислим предел их отношения:

5

Здесь после первого знака равенства появляется необходимость явно указать букву, определяющую номер членов последовательности, именно, букву k . Все слагаемые в последней скобке, содержащие k в знаменателе, стремятся к нулю, и поэтому предел равен единице. Следовательно,

при достаточно больших k ведет себя как его старший член mk m . Учитывая этот факт, легко получить следующие результаты: lim(2k3 9999k 2 9999999k 1) lim(2k3) , lim( 5k 4 777k3 888k 2 ) lim( 5k 4 ) . Формально и в первом, и во втором приме-

ре можно увидеть неопределенность [ ] . В случае многочленов эта неопределенность оказывается несущественной. Образно говорят, что на бесконечности поведение многочлена определяется его старшим членом.

Рассмотрим последний случай, когда одна из последовательностей имеет конечный предел, а другая ‒ бесконечный. Предел суммы или разности таких последовательностей очевидно равен бесконечности: A , A , A . Если конечный предел отличен от нуля, то предел произведения также равен бесконечности (правило знаков при

В случае, когда один из пределов равен нулю (одна последовательность бесконечно малая), а второй ‒ бесконечности, возникает неопределенность вида [0 ] ‒ "ноль (умно-

жить) на бесконечность". Значение предела зависит от скорости убывания членов бесконечно малой последовательности и скорости роста членов бесконечно большой последовательности. В

7

казательно-степенными, подразумевая, что аргумент k присутствует в основании, как у степени, и в показателе ‒ как у показательной функции. Последовательность, являющаяся основанием

Поведение показательно-степенных последовательностей, за исключением неопределенностей, повторяет поведение геометрической прогрессии.

Можно показать, что если последовательности {ak } и {bk } сходятся, соответственно к

A и B , то предел показательно-степенной последовательности будет равен AB за исключе-

в степени ноль. Вспомним, что число ноль запрещено возводить в нулевую степень. Здесь же речь идет о поведении последовательности, у которой основание и показатель стремятся к нулю.

Пусть последовательность {ak } сходится и limak A 1. Если limbk , то

lim(ak )bk , а если limbk , то lim(ak )bk 0 .

Пусть последовательность {ak } сходится и ее предел 0 A 1. Если limbk ,

то lim(ak )bk 0 , а если limbk , то lim(ak )bk .

Пусть limak , а последовательность {bk } сходится и limbk B . Если B 0,

то lim(ak )bk , а если B 0 , то lim(ak )bk 0 .

8

К показательно-степенным неопределенностям еще относятся неопределенности вида

мером неопределенности вида единица в степени бесконечность является последовательность, приводящая к числу e :

Список показательно-степенных неопределенностей:

00 ‒ ноль в степени ноль,

1 ‒ единица в степени бесконечность,

для четных m должно выполняться условие ak 0.

Если последовательность {ak } сходится и ее предел равен A , то последовательность m{ak } также сходится, и lim m{ak } mA . Для бесконечных пределов со знаком все анало-

гично. Если limak , то lim m{ak } . Если limak и m нечетное, то lim m{ak } . Например, lim k 5 , lim 31 k 2 .

В следующих таблицах предпринята попытка собрать всю алгебру пределов. Новой информации в них практически нет, за исключением последних замечаний.

9

lim ak

‒ произвольное ненулевое число.

Комментарии.

При умножении на нуль возникает нулевая последовательность, предел которой равен нулю.

При умножении сходящейся последовательности на число ее предел умножается на это число. Чуть иначе ‒ числовой множитель можно выносить за знак предела: lim ak limak .

Для бесконечно больших со знаком действует обычное правило смены знака под действием мину-

са: ( ) , ( ) . Кроме того, ( ) , ( ) .

lim ak bk

Комментарии.

Знаком вопроса отмечены неопределенности.

Предел суммы сходящихся последовательностей равен сумме их пределов.

Сумма бесконечно большой и сходящейся последовательностей является бесконечно большой.

Сумма двух бесконечно больших одного знака является бесконечно большой того же знака.

!!! Сумма бесконечно больших разных знаков образует неопределенность "бесконечность минус бесконечность", условно записывают [ ] , здесь квадратные скобки являются признаком неопределенности, правило знаков для бесконечностей в этом обозначении игнорируется. Например,

lim k 2 k 4 1 [ ] . На самом деле здесь возникает конструкция ( ) .

10

lim ak bk

Комментарии.

Предел разности сходящихся последовательностей равен разности их пределов.

Разность бесконечно большой и сходящейся последовательностей является бесконечно большой.

Разность бесконечно больших одного знака является неопределенностью типа [ ] .

lim ak bk

A, B ‒ произвольные ненулевые числа.

Комментарии.

Предел произведения сходящихся последовательностей равен произведению их пределов.

Произведение бесконечно большой и сходящейся последовательностей с ненулевым пределом является бесконечно большой. Обычное правило произведения знаков действует.

Произведение двух бесконечно больших является бесконечно большой. Обычное правило произведения знаков действует: , .

!!! Произведение бесконечно большой и бесконечно малой образует неопределенность "ноль на