Алгебра пределов

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

к бесконечности. В частности,

. Здесь скобки означают, что речь идет о пре-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

439.47 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22


			lim	ak
			lim
			bk
	A, B ‒ произвольные ненулевые числа, bk					0 .

ak bk	B 0	B 0	0
A 0	A B	A B			0	0	0

A 0	A B	A B	0		0	0	0

0	0	0	?		0	0	0
					?	?	?
					?	?	?
					?	?	?

Комментарии.

Предел отношения сходящихся последовательностей равен отношению их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.

Если знаменатель дроби стремится к нулю, а предел числителя не равен нулю, то дробь стремится

деле отношения двух последовательностей, причем предел знаменателя равен нулю (а не о делении на ноль!).

Пределы отношения двух бесконечно малых и двух бесконечно больших являются неопределен-

		0
ностями типа			и	.
ностями типа			и	.
		0
						lim ak bk
					A 0, B ‒ ненулевые числа, ak			0 .

	ak	bk	B 0		B 0	0
	0		0			?	0			?
	0 A 1		AB		AB	1	0			?
	1		1		1	1	?		?	?
	A 1		AB		AB	1
					0	?			0	?

Комментарии.

Основные показательно-степенные неопределенности ‒

ln ak

bk ln ak

Покажем, что 0

0. Основное логарифмическое тождество ak

пере-

водит показательно-степенную неопределенность в алгебраическую. Если ak стремится к нулю,

то ln ak стремится к (свойство логарифма с основанием, большим 1). Если bk стремится к

, то произведение bk ln ak стремится к . Тогда ebk ln ak , по свойству показательной функции, будет стремиться к нулю.

Замечания. В некоторых случаях одна из последовательностей может не иметь предела, но предел операции однозначно определен. Последовательность называется ограниченной, если

для любого номера k выполняется неравенство | ak | M , M 0 . Любая сходящаяся последовательность является ограниченной. Ограниченная последовательность может не иметь пре-

дела (то есть быть расходящейся), например, последовательность {( 1)k 1}. Последователь-

ность, имеющая бесконечный предел, является неограниченной. Неограниченная последова-

тельность может не иметь предела, например, { 1 ( 1)k k}. Докажите этот факт, указав две

подпоследовательности с разными пределами. Следующие утверждения надо запомнить.

Произведение ограниченной и бесконечно малой последовательности является бес-

конечно малой: если {ak } ‒ ограниченная, а limbk 0 , то lim(akbk ) 0.

Отношение ограниченной и бесконечно большой последовательности является бес-

конечно малой: если {ak } ‒ ограниченная, а limbk , то lim ak 0 .

Верно ли, что сумма (разность) ограниченной и бесконечно большой последовательности будет бесконечно большой?

2.5. Вычисление пределов.

Прежде всего необходимо знать пределы некоторых последовательностей. Например, вот список основных бесконечно малых.


1)	степенные:	1	,	1				,	1			, и вообще,	1			, где 0.
		k								k 2				k
						k
						k
2)	показательные:				1		,		1		, и вообще,		1		, где c 1.
2)	показательные:				2k		,		3k		, и вообще,		ck		, где c 1.
					2k				3k				ck

Небольшой список основных бесконечно больших.

1)степенные: k , k , k 2 , и вообще, k , где 0 .

2)показательные: 2k , 3k , и вообще, ck , где c 1.

В контрольном (домашнем) задании Вам предлагается вычислить пределы, которые являются неопределенностями (обычно говорят о "раскрытии неопределенностей"). Большая часть примеров решается с помощью приема с условным названием "вынесение старшей степени". Простейший случай ‒ предел отношения двух многочленов.

Пример 1.

	5k 11
lim		lim

	3k 7


		11
k 5
k 5
			k	lim
			7	lim
			7
k	3
k	3
			k

Можно было вынести старший член многочлена целиком:

5 11 k

3 7k

5k 11

5 0	5	.
3 0	3

	11
5k 1			, но

	5k

представляется, что уже со второй – третьей задачи такого типа надо сразу писать ответ.

Докажите и запомните следующее правило для предела отношения двух многочленов.

m 1

...

lim

m 1

k p

...

k p 1

p 1

если m p,

если m p.

Знак неопределенности (если она имеется) писать обязательно, этот знак показывает, что Вы проанализировали задачу, обнаружили неопределенность, и оправдывает Ваши дальнейшие действия. Сравните следующие примеры (в первых двух неопределенности нет).

Пример 2. lim 2k 3 k [ 0] .

Пример 3. lim k 2 2 3k 2 k [ ] .

	k	k	k	2	k
Пример 4. lim 2		3	[ ] lim3			1	(0 1) .
Пример 4. lim 2		3	[ ] lim3			1	(0 1) .
				3
				3

В последнем примере для раскрытия неопределенности использован прием вынесения "старшей степени", роль которой здесь играет 3k . Бесконечно большая 3k имеет более высокий порядок

роста, чем 2k . Рекомендуется выносить за скобку бесконечно большую с наибольшим порядком роста. Но в следующем примере этот прием приведет только к смене типа неопределенности.

Пример 5.

(1 1) 0 .

lim

k 2 2

k 2 k

[ ] lim k

k 2

Причина неудачи кроется в том, что здесь слагаемые являются эквивалентными бесконеч-

но большими. Если бы не было квадратных корней, то слагаемые с k 2

можно было бы сократить.

Поэтому имеет смысл преобразовать выражение таким образом, чтобы иррациональности исчезли.

И здесь на помощь приходит формула сокращенного умножения ( A B)(A B) A2 B2 .

lim

k 2 2

k 2 k

k 2 2

k 2 k

k 2

[ ] lim

k 2 2

k 2 k

lim

k 2

2 (k 2 k)

lim

2 k

lim

1 1

k 2

. Обратите внима-

Этот прием преобразует неопределенность [ ] в неопределенность

ние на то, что в знаменателе нет неопределенности: lim

. Затем

k 2 2

k 2 k

применяется прием вынесения старшей степени.

( A B)(A2

																																																										15
		Пример 6.																												[ ]
								3										3
lim 3												k 2 2											k k 2
lim 3	8k 7											k 2 2											k k 2
																																													2												2
																																											2			3 k 2 2 3 k k 2 3 k k 2
		3 8k 7 3 k 2 2 3																							k k											3			k 2
		3 8k 7 3 k 2 2 3																							k k							2				3			k 2
lim
lim																	3											2 3													3								3					2
																	3					k 2 2						2 3								k 2 2					3			k k 2					3		k k 2			2
																											3															3
															3 k 2									2								3 k k 2

						3 8k 7
lim
		3								2																																				2
		3			k 2 2					2			3			k 2 2 3										k k 2													3 k k 2							2
											3								k 2 2 k k 2
lim											3		8k 7						k 2 2 k k 2

		3								2																										3										2
		3			k 2 2					2			3			k 2 2 3										k k 2										3				k k 2						2

lim														3 8k 7 (2 k)

												2																																			2
			3		k	2	2							3		k	2			2					3	k k								2					3	k k				2
			3			2								3			2								3									2					3					2
																																			2
														3																7
																														7
																k k								3 8															1
																k k								3 8							k								1														2 1		2
lim																															k				k																		2 1		2	.
lim																			2																															2		1 1 ( 1) 1			3
														2					2										2							1										1				2		1 1 ( 1) 1			3
	3			k 4										2															2							1										1
	3								3		1										3			1									3					1					3					1
									3		1										3			1									3					1					3					1
														k	2														k 2								k									k

При анализе предела возникает конструкция ( ) , в скобках стоит неопределенность бес-

конечность минус бесконечность. Формула AB B2 ) A3 B3 позволяет "уничтожить" корни третьей степени в числителе. Обратите внимание на то, что предел в знаменателе не содержит неопределенности и равен ( ) ( ) ( ) .

Пример 7.

5 k 3 k lim 5 k 32 k

		3k 5k
lim		5k 3k
lim	3k 9 5k
		5k 3k


					1				1				1				1								1		1
0	lim				5k				3k	lim			5k				3k			lim			5k				3k
0					5k				3k				5k				3k						5k				3k

				1					1			1				1									1		9
0				1					1			1				1									1		9
				5k				3k 2				5k			3k 3 2									5k			3k
														k				3	k
		k				k							5									1
													5									1
			5															5								0 1		1
lim		3	5								lim							5								0 1		1	.
lim		k				5	k				lim							3			k					0 9		9	.
		3 9				5								k				3								0 9		9
													5									9
													5									9
																		5
																		5

Здесь неопределенность	0	была преобразована в неопределенность	, к которой


	0

затем был применен прием "вынесения старшей степени". Эту задачу можно делать иначе, заметив, что скорость стремления к нулю суммы бесконечных малых определяется самым "медлен-

ным" слагаемым, в данном случае, 3 k . Тогда
							3 k	5	k
			k	k							1
											1
	5				0			3				0 1		1
	5			3	0			3				0 1		1
lim						lim									.
lim	5	k		2 k		lim		5		k		0	9	9	.
	5			3	0		3 k	5				0	9	9
											9
											9
								3
								3

Отмеченный жирным шрифтом текст рекомендуется выучить. Упражнения и вопросы могут встретиться на экзамене, стоит поискать ответы.

В домашней контрольной работе две задачи. Первая ‒ доказать предел с помощью определения. В этой задаче придется решать неравенство, в том числе, показательное и даже логарифмическое.

При правильном решении должен получиться ответ типа k ... , и тогда

[...] ‒ целая часть

найденного решения. Номер не бывает дробным, и, тем более, отрицательным. При уменьшенииномер должен увеличиваться, проследите. Во второй задаче требуется вычислить предел, заранее сочувствую тем, кому попадется задача с корнями третьей степени. Удачи всем.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке Математика 2 семестр

#
15.02.2016439.47 Кб75Алгебра пределов.pdf
#
15.02.2016428.57 Кб93Векторные последовательности.pdf
#
15.02.2016202.38 Кб67График функции.pdf
#
15.02.201688.66 Кб68ДЗ график функции.pdf
#
15.02.2016324.15 Кб66ДЗ Кривые 2 порядка.pdf
#
15.02.2016222.48 Кб68ДЗ Метод итераций.pdf